(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Sur les séries divergentes et les fonctions définies par un développement de Taylor"

SUR LES SÉ^RIES DIVERGENTES 
ET LES FONCTIONS DEFINIES PAR 
UN DÉVELOPPMENT DE TAYLOR 



M. E. LE ROY 



QA 

295 

L4 

1900 

cl 

MATH 




I 






SUR LES 



SÉRIES DIVERGENTES 



FONCTIONS DKFINIES PAR IN DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR 



PAR M. Edouard LE ROY. 



I. — Ll-: PROBLÈME nu PROLONGEMENT AN ALYTfQl E . 

I. On sait, depuis Weierslrass, quelle difTérence précise il convient (r»''tal)lii- 
entre les deux concepts (\c fonction analytique et (ï expression analytique. 

La théorie des fonctions, dont l'un des princi[)aux objets est justement d'ap- 
profondir les ra|)[)orts que soutiennent entre eux ces deux ternies, soulève donc 
deux farauds problèmes, inverses l'un de l'autre, mais également importants. 
Etant donnée d'une part une certaine classe de fonctions, ou peut en cberclior 
nne représentation analytique appropriée; et Ton peut aussi d'autre part faire 
directement l'étude des fonctions définies par les expressions anal\ tiques d'un 
tjpe déterminé, (^'est à ce second point de vue que je me suis placé, eu preuiiut 
pour sujet de mes recherches le développement de Tajlor. 

t2. Consid(''rons une série entière 

a„ 4- ^1 - 4- «2 -■ -H . . . 4- a„ ;;" 4- . . . . 

Trois cas peuvent se présenter, suivant (|ue cette série est C()nviMgenle d.ms 
tout le [)Ian de la variable complexe 3, qu'elle a un cercle de convergence lini ou 
(pi'elie diverge toujours. Lin théorème de (lancln, relrouvi- pai- M. Il.ulam.ird. 
permet de décider, à propos d Un exemple (pieicoiupie, |).ir l'examen de l.i 
(piantilé \-\\ a„ | , dans le(|uel de ces trois cas on se trouxe. .le n envisagerai pour 
le moment (pie les séries entières possédant un cercle de eomergence liiii. 

.)<; puis, sai>s restreindre la gemialite, supposer \o raNoii de ce cercle égal à 
I uiiilt' : (Ml ell'et, une ti aiisfoniiation ('•lémciil.iire rainèiu' un ca-^ qticicoïKpie à 



) I 8 r.. i.r. liOY. 

cfliii-l.t. Mors, >(iii> l.i ('oiiiiiiKiii 

notif sc'iic (li'linit imi' foiulioii de r- diml les |)r()|Mi(''U's foiKliiinciitiilc-^ --oui Iticn 
romillt'-. 

Miiis il ptMil se f.iiic (|iic celle foiiclion cxisle poiii- des videurs de r qui reiideni 
1,1 série di\erj;enli'. Dans ce e;is, on sait <|iie la scido eonnaissaiiee de la sirie 
ntiinel encore, an nioin-' llié()ii(|iienient , de didinir sans aini)ii;nïlé la lonelion en 
Ions les poinis de son domaine nalni(d d'existence. I''>n d'anlrcs termes, si Ton 
adopte la notion de (onction anal vti(|nc telle que AVcieislrass l'a construite, il est 
possihle, — M. l'oincaré Ta montré ( ' ), — d'instituer, à [)arlir de la série cnvisaj;(-e 
comme élt''nicnl inilial, nue suite réi^ulière d'opérations formanl un ensemhh; 
i|('ii(Mnlii;d>le cl pcnnellanl d'atteindre la lonelion eu tout point on (>lle est 
liolonu>rplie. 

routeCois, ou n'a aucun movcn général de reconnaître à la simple inspection 
de la série si le prolongement est |)ossil)le, ni, dans le cas où il le serait, d'aperce- 
voir sui- la s('iie même des signes indi(pianl l'allure de la fonction en chacun des 
poinis où elle existe. D'où il résulte que, si le développement de Tajlor constitue 
nue lionne déduition théorique d'une fonction, il n'en constitue pas une bonne 
déliuilion prnl ((jiic. C'est celle lacune «pie je me suis elTorcé de combler, question 
dnnl 1.1 solnlion complèle serait d'autant pins désirable cpi'aucnn autre mode de 
repri'sentaliou analvlique des fonctions ne présente, au poinl (b; vue du calcul, 
les mêmes avantages (pu^ la série de Tavlor. 

\'a\ ri'suuK', le |)rol)lèmc que je me propose de résoudre peut s'énoncer ainsi : 

Snclidni (fil' une srrie entière pourvue d'un cercle de convergence repré- 
senti' une fonction douée d'une individualité bien définie et qu'elle permet 
de calcule/- de proche en proche toutes les rctlei/rs de cette fonction, trouver 
f/i's cnmctères qui fassent lire sur la série même les propriétés de continuité 
lie 1(1 fonction . 

Il va sans dire (pie je n'ai pu obtenir nue solutuiu complèle. F^a question posée, 
comme c(dle de la convergence des séries numériques, n'est pas de celles (pii en 
comporlent. Mais ce n'est pas une raison pour ne point proposer les méthodes 
(|tii, sans permellre de traiter tous les cas possibles, procureul cependant le 
moyen d'aborder bien des cas pratiques. 

3. Parlons d'un (b'-vcloppemenl de Taylor arbitrairenienl donné et cherchons à 
en eHecluer le prolongement analytique. M. Bon I a démontré (-) que le cercle de 

( ') liendiconti del Circ<>l<> nnitrnuiti<o di f^ulrrnin. t. II. 
(') Artn ninlhcninlicn , t. \\l. 



sur; i.Ks SKIUKS divkhgf.ntes r.r lks ioncïions DiiiiMr.s, ktc. 'Jk) 

convergence d'une série cnlière csl, en général, une cou|)ure ou ligne singulière 
essentielle pour la fonclion que celle série définil. Le prolongement est alors im- 
possible. 11 arrive donc, en général, que les théorèmes classiques dus à Abel suf- 
fisent pour étudier la fonction dans tout son domaine naturel d'existence. D'ail- 
leurs cela pouvait êlre aisément prévu, la série de Tavlor étant une expression 
isotrope pour laquelle, si l'on reste dans le cas le j)lus g('néral, aucune direction 
{\u plan z ne saurait êlre privilégiée. 

Une remarque s'impose à ce sujet. Le théorème de M. Borel est relatif aux 
séries (juelconqiies dont les coefficients sont donnés au hasard. Mais la fonction 
la plus générale ne correspond pas îi la s<''ric la plus générale. Au point de \ ue 
ordinaire de l'Analyse, la fonction la plus générale est, en elTet, celle pour qui la 
distribution des points singuliers n'est soumise à aucune loi. Il est donc certain 
que, si l'on se borne aux questions naturelles d'Analyse dans lescpiclles les séries 
(le Tajiorquc l'on devra considérer seront amenées par un calcul et non posées 
a priori, les fonctions les j)lus fréquentes cl les plus utiles seront des fonclioii-^ 
|)rolongeables. 

Je crois pouvoir conclure de ce (jui [)récède (|uc, en essa\ai!t surtout ilc définir 
des classes de séries piolongeables, je ne limite pas outre mesure la portée pra- 
tique des recherches (jue j'entreprends. Je m'attacherai donc spécialement à 
découvrir des caractères de prolongeabilitc. Il j a là une théorie à édifier, sem- 
blable, je le répète, à celle de la convergence des séries. Cette comparaison 
expliquera que je néglige, au besoin, la généralité des résultais dexaiil leur 
netteté. J'ajoute enfin (pie, loin de prétendre être complet, ce Mémoire contient 
])rincipalement des exemples cl des applications dont le but est de inontror le 
mécanisme de la méthode que je propose et l'inlérét qu'elle [)eul ollrir. 

i. l*our utiliser le théorème de INL Borel, il faut connaître des cas précis ipit- 
l'on puisse dire généraux au point de vue qui nous occupe. 

\i.n voici un exemple. Les travaux de ^L^L Hadauuird, Borel et Fabry (^ ' ) con- 
duisent à formuler la proposition suivante : 

1^(1 séria y «« 3"» itdniet effectivement son cercle de con\'ergen<-e cnmme 



coupure, (fuels (jue soient les coejficients %„ [sous la s<'ule réser\<' i/u il y ait 
en effet un cercle de coin'erge/ice Jini), /)ou/\i/ t/ue les e.v/)osants <f„ .«»/<■/// 
des nombres entiers positifs et croissa/its tels ([ue la di[J'ércnce </«^, - a,t iini:- 
mente au délit de toute limite (Hcc n. 



(') llADAMMti), .InuriKtl dr \/<i //n'/)i(i /i</ iirs : iS((>. Im)Ki;i., //>/(/.. iSqI). — 1■^MH^ 

Aniuilfs (le l'l\roli' \ ornuilr sii/><'fii:ii/<- ; iSi)(). 



)2() 1.. l.K IlOY. 

I.f |)r(tl)lrni(' ciiiiil ;mi>i rrxtlti poiiilrs st-rios \i (dcniirs iinlc/iiiinicut ^raiidis- 
sitnti'S, )t' ii\'\;iMii iici .Il (iiic les srrii'S ciiniplrlfs. Mais il ol hicii cmIcihIii ([iic )i' 
nCxclii^ p.is K' cas t»ii imi' >iil)sliliiliiiii di- la lormc 

p (lésignaiil un ciilii-r posilil, raiiu-iicrail la série ('•Uidii''C à la (orme coiiiplclc. 
ri. Il rrsiilto ciioore dos travaux (\c M. l'al)r\ (|ii(', si Ton pose 

z„ cl 0„ ctaut réels, puui\u (|ue p„" lende vers i quand // augmente indéfiniinenl, 
on pcul toujours choisir 0,^ de façon que le cercle de rajon i soit coupure efTec- 

oc 

livc pour la série ^ y-,i '■" • 



l)t)iic, nièine en se bornant aux séries complètes, il ne faut pas chercher des 
ciilères gc/ic/aux j)ermellant d'aflîrmer que le prolongement est possible : la 
question posée ne pcul recevoir que des réponses particulières dont il j a lieu 
d'assurer le caractère pratique plus que l'étendue. 

Je dis mcinc que le ecrcle de convergence de la série ^^y.„z" est une eou- 



pure effective pour la fonction que cette série définit, si a„ est une fonction 
périodique de n développable en série trigonométrique absolument conver- 
gente. 

Soil, en effet, 
la série 51 i '"y I ^'^^^^ convergente. On a évidemment 

— « 

La fuiiclion y(cj, holomorplu; à I iiilérieiir du cercle de rajon i, admet tous les 
points e'P de ce cercle comme pôles simples. D'après une proposition due à 
M. Goursat cl reprise par M. IJorel dans sa Thèse, ces points sont ed'ectivcment 
>ini:iilicrs j)Our f(z). Ov la théorie des fractions continues nous ap|)icii(l qu'ils 
forment un ensemble dense sur tout le cercle. D'où la conclusion. 11 importe 



SLR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES lONCTIONS DÉFINIES, ETC. 3l> I 

daillciirs de remarquer fjiie la fonction f{z) appartient à la catégorie de celles 
pour lesquelles M. Borel a montré que l'on pouvait généraliser la notion de pro- 
longement. 

Ce théorème permet de construire des séries très simples qui ont leur cercle do 
convergence comme coupure. Il suffit, par exemple, de prendre 



On déduit de là sans peine des séries 2. '■'■u-" j)résenlanl le même caractère et 



pour lesquelles : 

i" y.„ est positif et va en décroissant (|uand n augmente; 



La série \ a„ converge; 



3" Le rapport tend vers i pour n infini. 

11 est visible (jue l'on peut trouver ainsi des séries de même nature dont les coel- 
(icients satisfont isolément à telles inégalités restrictives que Ton veut. Ce n'est 
jxis l'ordre de grandeur de a„ pour n infini qui intervient pour la possibilité 
du prolongement, /nais bien la nature analytique pour n infini de y.,t regardé 
comme une fonction de son indice. Tel est le principe que je veux établir. 

Le théorème énoncé plus haut comporte deux cas d'exception que je dois 
signaler : 

i" Si y.„ s'exprime par une suite de Fourier limitée, f\^'-) est une somme 
d'un nombre fini de fractions simples et n'a donc dans tout le plan qu'un 
nombre fini de pôles simples distribués sur le cercle de rayon i ; 

2" Si ci.,i est une fonction périodique de n éi période commensurablc. la 
suite des points singuliers est elle même périodique et f{z-) n'a tju'iin nondae 
fini de pôles simples distribués sur le cercle de convergence aux sommets d'un 
polygone régulier inscrit . 

(). La (pieslion <pie je me suis posée dans ce Mémoire a (h'jà douu('' liru à bien 
des ti'avaux (ju'il serait trop b»ng d éuiimércr. Miiis je me pl.ue à un point de vue 
ti'ès dilb-rcut. JusipTici, on |)artail g(''n(''ralt'in(Mit ifunt" série arbitraire et foii 
cherchait un moyen d'en découvrir b's points singuliers : e\>t le cpii explicpic 
cpi'on ail surtout trouvé des résidtals r(>latil's au cas où le |)rob)ngement e>t im- 
possible. Je V(Mix, au coiilraMC, développer cpiebpies li\ pot liè>e> ^nnples poil.uil. 
soil sur la lornie aiial\li(pie explicite de a„. soit sur la manière don! ee ttiellieieiil 
est donné par nu ealeiil anierieur. 

lac. de T.. '■ S., II. ^I 



^2■2 



K. Il, UdY 



MM. L(Mii cl l;il)i\ I ' I oui ohU'Dii i)lii>i('iirs des résiill.ils ([iic je (loiiiie ici. 
Mais jo crois (jiic l.i mclluxlc (|ii<' jr |)r(>posc |)réscnlc plusieurs avanlaj^cs. D'abord 
elle esl 1res simple, puis die peiinel (réhidier une fonction dans loul le plan cl 
non |)as seidcnu'nl ini\ environs du cercle de cons crgcncc. Issue de celle idée que 
lonUs les propriétés d Une Ibnehon soni ponrauiM dire eondensi'cs dans la strnc- 
Inic de son ilévcloppcnienl lajiorien, elle fournil, lors(|u'elle s applique, non 
>enleinent les allixes des points sinj;uli(M\s, mais leur nature, les périodes (jui sy 
rap|HMlenl et les valeurs tie la (onclion en Ions les autres |)oinls. Endn, condui- 
sant à cxir.iiie de la série de Tajior une expression analviitpie é(|iiivalenle valahle 
pour loul le j)lan, elle se prèle à de non)l)ieiises a|)|)lieations dont je signalerai 
les |)riucipalcs. 

Un résumé de ce Mémoire a paru dans les Cotnples rendus de l' Académie des 
Sciences, le 20 ft'vrier 1899. 

II. (>VLetL M MKUKJUE O LAK 1 OAC.TIO.N I.N DEliOKS Dt CEKCLi: 

m; coKVF.noEACE. 

7. Le |)remier prohiènie (pu se présente esl celui-ci : 

litdtil donnée une fonction par son développement Iciylorien, calculer ses 
valeurs en tout point où elle est ré gu Hère. 

La série [)rimitive cl celles qu'on en peut déduire par la mélliodc du prolonge- 
ment fournissent une première solution, malheureusement très compliquée. 

M. Borel (-), par ses recherclies sur la sommation des séries divcrgenles, a 
ouveit une voie nouvelle on ^L Servant (^). après lui, a obtenu d'importants 
résidtals. 

M. Lindelt")f ( ') a indi(|ué un procédé loul à fait général, fondé sur l'emploi de 
représentations conformes. 

l^nlln, loul ré('cmmenl, ^L Millag-I^efdcr ("') a nionlré (pie l'on pouvait tou- 
jours construire, à |)aitir de la série entière donnée, une série de polvnomes tpii 
converge en tout point où la fonction esl bolomorpbe, sauf des coupures rccli- 
ligncs allant de chacun des points singuliers à l'infini. 

(') I'aiiih, Jniiriifil de M(ilh('niali(/iics ; i8(j8. — LevI". Il)iil.; 18(^9. -- F,c présent Mé'- 
moire, dalii du 9.i février i8<)9, élail rédige avant la |nil)iicali()n du Mémoire de AL Lcau. 
Des circonslanccs indépcndanlcs de ma volonté en ont retardé l'impression : j'en ai profite 
pour y ajouter le paragraphe H, ainsi rpn; phi-^iiMiis indications l)iljliographiqucs. 

(-; Journal de Malhémutiqites ; iS(>(), et .\nnales de VKcole Normale ; i8(jf). 

(') Thèse de Doctoral ; 1899. 

( ' ) .^1 cta Societatis fcn n icœ ; 1 898 . 

( •• . Comptes rciuliis; i "> mai 1899. 



SLIl LKS SÉRIES DIVF.r.tlKNTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. '32> 

Mais, dans une [)areillc question, on ne saurail liop mulliplier les niélliodcs 
f|ue le calculaleur aura à sa disposition. Je vais donc indiquer un procédé nou- 
veau, qui permet d'ailleurs de retrouver très simplement le lliéoième de M. Millag- 
Lefller('). 

8. (Considérons dabord la progression géométri<pie 



Soit t un paramètre réel compris entre o cl i. Je pose 



r désignant la fonction eulérienne de seconde espèce. La formule bien connue 
qui donne la valeur asjinptotique de Y montre immédiatement cpie G est une 
fonction entière de z, tant que t reste inférieur à i . 
On peut écrire 

•- 

et cette intégrale est convergente pour ^ << i , quel que soit :;. 

Le chemin d'intégration coïncide d'abord avec la partie positive de l'axe réel 
du plan. Maisil est visible qu'on peut lui substituer un autre chemin recliligne L 

allant de l'origine à l'infini et faisant avec le premier un angle - moindi'c (pic - 

en valeur absolue. Cela lient à ce que l'intégrale G, prise le long irun arc de 
cercle G compris entre les deux chemins précédents, tend vers zéro quand le 
l'ayon de G cioît au delà de loulc liinile. 

Imaginons maintenant (|ue / tende vers i. Alors le développement (■<') tend /br- 
inellement vers le développement ( i). Mais qu"arii\c-i-il pour G? 



Considérons l'intégrale 



/• 



e-x^zxff^f 



prise le iciugciu tlicuiin rcctiliguc I,. Ille est conveigcnle et .i pour \.dfur 

tant (pie le point ;. csl dans un cerl.iin (bimaiiic 1". L.i ciniveigeiicc c^l nu'mc 



(') On V("n;i rncilcnicnl le lien .it> <'cllc mt'lli.nlc ;i\,-i- .■,11,- ,!■• M. lioirl 



J2.\ 



K. 1 r. i;()Y 



n/ist)/(/(' cl iiiiijornw (liin> l()iil domiiinc iiih riciirà 1. Or, (|ii('l csl ce tloiiiaiiic I ? 
l'osons 

Le (loinaino 1 o>t loriiK' de loiilc la rt'i;ion du plan siIih'c du iiirinc côlr (|U(" 
l'oriiiinr |)ai- rappoii à l;i dioilc doni r(-(|uati(>n est 

a coso — ^ sin 9 — coso. 

( .elle ilei mère dioilc, (roiitièio miii(|U(' (](>!, n'est autre (|ue la droile menée 
par le poinl :; ^^ i parallèlenient à la sjn)étri(|ue de L par rapport à la Msseclricc 
a r=r 3. Nous supposerons désormais cpie z reste clans T. D'ailleurs, en faisant 
varier 'c dans les limites permises, V balaie le plan tout entier, sauf une coupure 
reclilijjne allant de :; = i à c = x le long de l'axe réel. 

(^uoi ipiil en soit, su|)|)os(mis L et T fixés. Si c est dans T, l'intégrale 



/ 



,-X+ZX'fij. 



j)rise le long île Lest absolument et uniformément convergente pour tS\. On 

I 
1 



conclut (le là ipie G(;:, /) tend vers quand / tend vers i; G tend même 

uniformément vers sa limite, pourvu (jue ; n'atteigne pas la frontière de T. 

Nous jiouvons donc énoncer le lli(''orème sui\anl, tout à lait fondamental dans 
la ipie-lion (jui nous occupe : 

Soit T un domaine fini quelconque dont la frontière reste à distance finie 
d'une coupure allant du point r= i au point zz=:c le long de l'axe réel : 
l'expression 

Y Y{ nt-^\) _,, 



oit I désigne un paramètre réel inférieur à i, tend un if or mentent vers 



quand t tend vers i, pourvu que z reste dans l . 

0. Soit maintenant 

/{z) = y^y.„z- 



une fonction liolomorplie à l'origine, 'l'raçons des coupures rectilignes allant de 



si:r les séries oivergentes et les fonctions définies, etc. 32D 

chacun des poinls singuliers (Je f{z) à l'infini le long des rajons vccleurs de ces 
points singuliers. Je désignerai |)ar T un domaine fini quelconque dont la fion- 
lière resle à distance finie des coupures précédentes et je supposerai que :; ne 
sort pas de T. Appelons d'ailleurs C un contour fermé contenant T à son inté- 
rieur et ne rencontrant aucune des coupures envisagées. 
On a 

Posons 

u{.,t}-2^ !(«-+- 1) ^"^- ' 



t désignant comme ci-dessus un paramètre réel compris entre o et i. La fonction 
entière G |)eut se mettre sous la forme 

' 

car 



OC,. 

^--',c, 



Or on peut toujours supposer C choisi de telle façon (pie, c reslanl dans ï, 
- reste (quand it décrit C) dans un domaine T' auquel est applicable le ihéorrme 
du paragraphe précédent. Alors 



r(/i^-+-i) z" 

(j 
tend uniformément vers 



2 



et, |)ar suite, G tend uniformément vers /(v), le tout (pianil / tend \ers i. 
Nous ohlenons donc finalement le llu'orème que voici : 

h'iant (lo/ifirc uiw fonction liolomorphc duti^iif de l'oriiiinc 



('/ un (lonidinc T drjini connue il a ctc dit . /'(•.rp/;'ssi<>/i 



• vjG t. I.l. KO Y. 

fr/i(/ iiiilJ\>rn>rniont vois J\z) i/iKtiiil t Icinl vers i pur relieurs réelles et plus 
petites ifue i . pi)ur\.u que z reste ilans V . 

10. La im'lliodc prret'-dctilc (loiinc imincdialcmciit l'c^xlonsion (ruiio S('ric de 
Ta^lor à tout le plan. 

Kilo coiisliluc, si I on \ciiL un |)roccdc j^cnéral poiii' rcclioïc l>cr les points 
singuliers iriinc fonclion délinie par son développement layloricn. 

Mais je l'envisagerai surlonl eomnie (otirnissanl nn moyen de ealenler nuni('ri- 
(puMuent eelte fonclion. 

Ace diMiiicr poini de \ne, elle peiniel de relrouver hien aisément le llu'orrnie 
i\e M. Alillag-Lelfler. Soil, en efTet, £ un nombre posilif donné aussi pclil (pic 
l'on veut. Choisissons / = /„ de telle manière rpie l'on ail 

|G(c,/„)-/( = )|<î, 

(picl que soit z dans T. Cela fait, on peut limiter la série convergente C(^, to) 
de façon (pi'en désignant par P(v) la somme de ses n premiers termes, on ait 

dès fpie n surpasse une certaine limite assignable. Il vient alors 

|/(.)-P(.-)|<£. 

Ainsi la fonction f {^) peut cire représeiitce par un polynôme a%ec telle 
approximation que l'on veut dans tout le domaine T. 

Soient enlin 
des nombres positifs tels que la série 

go 


soit convergente. Déteiniinons, pai- la niélliode précédente, les polynômes !*„ tels 

que 

|/(c)-P„(-)|<£„ 

dan» l . On a évidenimftit 

J'y-) =Pu-^-^l^-P„)-^(P,-P,)4-..■ 



SUR LES SÉRIES DEVERGENTES ET LES FONCTIONS DKIINIES, I.TC. 32^ 

Cl la série du sccodcI meml)re est absolument et uniformément convergente dans T. 
C'est le lliéorèine de M. Mitlag-Lefjler. 

Mais, sans insister davantage, je vais |)résenler quelques remarques générales. 

11. Considérons une série quelconque 



y-n 



convergente ou divergente. Nous dirons avec Cauchy qu'elle est de module fini, 
si la série entière associée 



possède un cercle de convergence limité. Dans ce cas, la série auxiliaire 

(3) Stttttt/"" (^<^<') 



est convergente. 

Si la somme de la série (3) tend vers une limite L quand / tend vers i, nous 
conviendrons de dire que la série (i) est sommable et a pour somme T.. 

Il est clair (ju'unc série convergente est toujours sommable ot a la uiémc somme 
aux deux points de vue de la convergence et de la sommabililé : la notion de som- 
mabilité fournit donc une généralisation légitime de la notion de convergence. 

Cette généralisation est effective, comme le montrent les théorèmes établis 
ci-dessus. 

Si la série (i) est divergente et a ses termes tous positifs, la série (3) augmcnlc 
ind(';(iniment à mesure que t se rapproche de i . Il faut donc, dans le cas de l.i 
divergence, que la série (i) soit oscillante poui- (|ue la considération de l.i 
série (3) permette de lui attribuer une rwaie vnicur. 

Lorscpie les a„ dépendent dune variable //, nous (liions (pie la série (^ i ) est uni- 
jormOment sommable dans un domaine I si la série \S) tend iinirormémenl \ers 
une limite cpiand / tend vers i , // l'estant dans T. 

Il résulte des théorèmes (Mablis dans ce (.hapilic (|iic Iniiio série entièiede 
module fini est S()iiim,d)l(> d;ms le douiaine naturel d i'\i>leiice de la ("(Uicl ion /t z\ 
qu'elle définit autour de roiigine. 

Une telle série |)eiil rire maiiit'-e daii> le tilleul, soit au point lit- \iio de la iiiiil- 
ti|)lieation, soil ;iu point de vue (h* liuti-gration (Ui de l,i dérivation terme à 
tcnne, comme si elle était coiiv ergenle. 

<)n \oi|, en lin de compie, (pie les eoii->i(l(''ral ions des cloiip.i^s dans (■(> Chapitre 



)'2S 



¥.. i.K no Y. 



(Idiiiicnl tiiif xtliilum coinplrlc du ji/dhlcnic des srrit's (li\cri;ciitcs de niotliilc 
fini . 

J,;i \;iliiir iiiinicii(|ii(^ diinr Icllo srric pcul cire calculée ainsi par un procrdé 
(|iii ne di'-pcnd (pie de hi \alciii' Muni(''ri(]ue des Icrnics de la série donnt'c. 

.1 ai à peine Itesowi (l'a jouter (piiiiie série unilorménienl soinniahle de foiietions 
eonlinues esl une fonclion continue, rprune série uniforinénienl sojnniable de 
fonctions lioloniorphes csl une fonclion lioloinorplie, (|u'on pcul intégrer ou dé- 
iivrr terme à lernie une série unilorinénient sonnnal)le dans les mêmes conditions 
[nniliilis nnttandis ) (piune S('rie unilorménienl eonvergenle, elc. 

On |>oiii!ail essaver (rétendic hi mélliode (|ue je viens d'es(piisscr au cas des 
séries entières dont le ravon de convergence est nul. C'est un point sur Uupiel je 
me réserve de revenir. INIais ici je m'allaclierai snrtout à une autre méthode, à 
1 étud(> de la([iielle |e me hornerai désormais. 

III. — PlUNCirES OE LA MÉTHOnE EMPLOYÉE. 

I ti. \ oiei la marelie (piil e>l le plus naturel de suivre pour efTectuer le prolonge- 
ment analvli(|ue dune série de Tavlor : déduire de la série donnée une autre ex- 
pression qui converge dans la plus grande étendue possible du plan et qui 
/>renne les mêmes valeurs que la série primitive autour de l'origine. La légitimité 
de celle mélliode est fondée sur le théorème suivant, cpii esl bien connu : Deux 
fonctions, holomorphcs dans un domaine cV un seul tenant, coïncident en tout 
point de ce domaine si elles coïncident dans une petite aire intérieure. 

C'est cette marche cpie l'on suit dans les cas tout à fait élémentaires où Ton 
peut sommer la série, j)ar cxem|)le dans le cas des séries récurrentes. C'est encore 
cette marche qu'ont suivie INI. Lindelof (') en utilisant des représentations con- 
formes et M. Borel (-) en introduisant la notion de série divergente sommable. 
JNIais, dans une (piestion de ce genre, il est avantageux de multiplier les méthodes 
r|ue le calculaleur aura à sa disposition. C'est ponrfjuoi je proposerai un autre 
j)rocédé, basé sur l'emploi de certaines intégrales définies. 

Ce procédé n'est pas absolument inédit. jNl. Hadamard (') signale rapidement 
dans sa Thèse l'une des propositions fondamentales dont j'aurai à faire usage. 
M. l'iiH licrle ( '• ) a consacré (piehpics pages au même sujet. Mais je me placerai à 
un point de vue exactement inverse de celui (|u'adopte M. Hadamard et je devrai 
d'autre part m'éloigner beaucoup de M. Pineherle dans les développements «pic j<' 
donnerai à (|uel(pies-uns de ses théorèmes. 

(') Acta Sncielalis fcnnicœ ; 1898. 

( ') Journal de .Mdthénialifjucs ; iScjO, tl Annules de i Ecole Norniale supérieure ; iStjy. 

('; Journal de .Mathéniali<jues ; |8((2. 

( * ) Acta nifithcmatica ; 1887. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 829 

13. Considérons tout d'abord l'intégrale 

et cherchons-en les propriétés principales. 

Nous supposerons l'intégration efTectuée le long du segment (o, i ) de l'axe 
réel OX. 

Quant à la fonction -j, nous ne ferons pas sur elle d'autre hypothèse que 
celle-ci : r intégrale 



n ' 

1 9 ( X ) I dx 



f 



a un sens. 

Cela posé, l'intégrale J(^) a une valeur finie et déterminée en tout point :; qui 
n'est pas situé sur la partie (+ 1, 4- 20) de OX. Il y a plus .je dis que J(-) est 
liolomorphe dans le même domaine. En effet, choisissons au hasard un point :;o 
dont l'affixe ne soit pas réelle et supérieure ou égale à 1 . On voit immédiatement 
que l'on peut écrire 



J(c)=2««(---o)"' 



^ n 



{l— ZqX)' 



dx. 



La convergence a lieu dans un certain cercle décrit de 00 comme centre et le 
théorème annoncé est donc vrai. La fonction i{z) est holomorphc en tout point 
du plan, sauf peut-être pour z réel et plus grand que i . 

Posons maintenant 

««= / (?{'r)'r"dj-. 
On a, au voisinage de l'origine, 



\a) l'ayoïi de convergence tle ccUc série est égal au nidins à 1 . L' in tt'i:r<ilc J^-) 
coïncide, à l' intérieur du cercle de coni'eri^cnce, (/vec la somme de la série (t) 
et , par suite, définit (' extension itiudytiiiiie éi tout le plan de la fonetion re- 
présentée jiar celle-ci . 

Les points singulit-is de \[ z-) \\v |HMi\eMl èlic situés (jiit" -"Ur l,i portion t^-- 1 . -f- r:\ 
(le ()\. Mil pai'li( iilier, si le cercle de eouvergence de la s«''rie {\) a l'unil»- p<»ur 
ravoii, il ne eonlienl (|M"iin point singulier de M^z") : z rr-z i . 

/■',ir. ,/r T.. >' S., 11. /|2 



Vio K. Il", no Y. 

I.a |u)iiit>n (-+-!, 4- oc) de ()\ osl pour i[z) mic roNpurc. (loUo coupure e>l 
essentielle si la Cmiclion ',2 n'esi pas analytique pour o <C^.v<^\. INIais supposons 
o{J') lioloniorphe dans une aire contenant ce scgnionl à son inlérieui-. Alors l'in- 
tép;ration peut être elVectuée le long d'un clieniirï curviligne allant du j)oinl o au 
poini I : (/'où l'on conclut que lit coupure n'est jxis essentielle et (/ue ](z) n'a 
pas tl' autres points singuliers que r- = 1 et z^^yz. 

Plu> généralement, si '^{^v) est liolomorphe autour du point ). (A réel et com- 
pris; eulriM) et i),.I(c)esl holoniorplic autour du pointer- Si ilonc 'i{x) est gé- 
néralement holomorphe au voisinage du segment (o, + i) de OX, sauf en des 
points isolés, J(^) n'a que des points singuliers isolés, distribués sur la partie 
(+1, -^x) du nié me axe. 

Dans ce cas simple, ^{z) n'est pas uniforme et le calcul du saut brusque 
subi par l'intégrale quand on franchit la coupure donne les diverses dé ter • 
nùnations de J( cV il suflit. pour le voir, de se reporter aux travaux bien connus 
de M. Hermite sur les intégrales à coupures et d'applicpicr le théorème des ré- 
>idus. Plusieurs circonstances peuvent se présenter: Si »(.r)esl holomorplie dans 
tout le plan, sauf peut-être à l'origine, on peut (aire passer la coupure par tel 
point que l'on veut et les périodes de J(^), quand on tourne autour du |)oint 1, 
sont données par l'expression 

•>, 1er. i - o 

Dans le cas général (la coupure n'étant cependant pas essentielle), la même 
formule est valable pour les points voisins de OX et peut ensuite être étendue par 
prolongement à tout le plan, mais toutes les singularités sont alors possibles, 
suivant la nature analytique de la fonction 'j, pour les déterminations de 
i(z) autres que la déternnnation principale. 

Ces résultats sont bien simples et l'on voit que la considération de J(-) permet 
de résoudre complètement le problème de l'extension analytique de la série (i). 

On peut bien souvent aller plus loin. Je ne citerai que quelques exemples. Si 
la fonction '^(x) est positive et si l'on pose 

z^=^ it -{- ivy 
il viril I 

J^ ' (I — j/x)»-t- J'^r^ J^ '^ ' {\ — ux.y ->r v^ X- 

Si V n'est pas nul, il est impossible d'annuler le coefficient de i dans l'expres- 
sion de J(-) : l'équation J(:;) = o n'a donc pas de racines imaginaires. Si v = o, 
la partie réelle de J(~) ne peut pas être nulle pour m «< i : ré(|ualion J{z) = o 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DEFINIES, ETC. 33 1 

n'a donc pas de racines réelles inférieures à i . Kn irsiuné, l équation J(3) = o 
ne peut axoir que des racines réelles supérieures à i. Celle rcniar(jue. utilisée 
par M. Desainl (') dans sa Tlièsc, ne s'appli(|uo évidemment cpia ia branche 
principale de J(^)- 

Je montrerai plus loin sur des exemples que l'on peut tirer parti de l'expres- 
sion de i{z) pour trouver l'allure de cette fonction à l'approche de ses points sin- 
guliers. Qu'il me suffise de faire remarquer actuellement que la détermination 
principale reste finie quand :; grandit indéfiniment avec un argument différent dt- 
zéro. 

11. Considérons maintenant une série entière 



dont nous supposerons le rajon de convergence ('gai à l'unité. Soit /*(c) la fonc- 
tion définie par cette série. Si nous parvenons à construire une fonction 'i{x) 
telle que Ion ait 

a„=: j o{x)x"(lx, 

•• 

pour toutes les valeurs entières et positives de /?, nous poserons 

et nous aurons effectué le prolongement analytique de la série. Ce procédé nous 
fournit le moyen, non seulement d'éludier la nature anahlique de /*(;•), mais en- 
core d'en calculer numériquement la valeur en tout point du plan qui n'est pas 
singulier. 

Sans doute, la méthode j)récédenle ne peut rien ilonner de plus <pie l.i mé- 
thode classique du prolongement analvlique à laide de cercles de convergence 
successifs. Mais elle est beaucoup plus pratique et permet en outre, par un en- 
semble régulier d'opérations, d'atteindre la fonction étudiée dans tout son do- 
maine crcxislence, v C()mj)ris le voisinage des points sini;uliers. et non p;»> >»'u- 
lemenl (comme le procédé tie M. l\nncaré) dans tout domaine intérieur au 
domaine naturel d'existence. Le seul inconvénient de la méthode est de n'être pas 
générale : pour savoir si elle est applicable, il faut résoudre un problènu' din- 

(') K. Dksajnt. Sur (/iic/</iics pniitts ifr lu tht-orie dfs /onctions i Annales tir l'l\colf 
Sormiilc supcricui f : i8()7). 



X^'2 V.. IF. HO Y. 

version (riiil('i;ralt' (Irliiiie consislanl à construiii^ imc foiiclion 'j lelle (iiic 

«/.= f o{.r).t"ch; 

' 

pour n l'iiluM' cl positif. 

lo. On aperçoit imnu'diatcmenl la possibililé de généralisations élcndues. J'j 
insisterai peu, les démonstrations étant les mêmes, mutalis rmitanclis, au moins 
on ce qui concerne les points importants. 

l»i(Mi n"(Mnpèclie, par exemple, {\c faiie correspondre à une série de Tavlor 
donnée nue intéuraie de la forme 



A^)=f ^(•'■)<'(7ir7?)^^-^' 



G(/) désignant une l"t)nclion entière de t, ou même j)lus généralement encore une 
intégrale telle cpie 

/{^■) = f ?i 



•{j:)¥{z.r)d.r 



où V{t ) représente une fonction analytique de / liolomorphe à l'origine dont les 
singularités sont supposées connues dans tout le plan. 

Bornons-nous, pour simplifier, au cas où F(/) n'a que des points singuliers 
isolés : soient 

'o» 'ij '2» • • • » '/J) • ■ • 

les aftixcs de ces points. 

Si y(i) n'est pas uniforme, nous commencerons j)ar pratiquer dans le plan (z) 
des coupures reclilignes allant de chacun des points Ip à l'infini et dont les pro- 
longements passent par l'origine : la fonction F est ainsi rendue uniforme. 

Dans tous les cas, ces coupures seront celles de rinlégraley(:;). Celle-ci est liolo- 
morphe en tout point non situé sur les coupures, au moins tant que l'on se con- 
tente de considérer les valeurs de /{z) susceptibles d'être atteintes quand la 
variable z suit un chemin issu de lorigine et ne rencontrant pas les coupures. Il 
est clair que, dans le plan ainsi coupé, /(:;) est uniforme. 

Si '-^(x) n'est pas analytique, les coupures sont essentielles et il n'j a rien à dire 
de plus, à moins que l'on n'abandonne le concept de fonction analytique tel que 
l'a constitué \Veierstrass et que l'on ne cherche à généraliser l'idée de prolonge- 
ment. Mais, si '^(x) est analytique, on sait que les coupures ne sont plus qu'apj)a- 
rcnles. Dans ce cas, ^(5) n'est plus uniforme et il v a lieu d'en poursuivre l'étude. 

Supposons donc (|uc '■p(.r) soit une fonction analytique admettant des points 
singuliers isolés : 



SIR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 333 

Traçons, dans le plan (x), des coupures reclllignes allant de chacun des 
points Xp à l'infini et dont les prolongements passent par o : 'j(^) est ainsi 
rendue uniforme. 

Soit ^ un point situé sur le segment (o, i) de l'axe réel du plan (x) : choisis- 
sons-le de façon que <o(x) soit holomorphe en son voisinage. Considérons 

maintenant le point .,^- du plan {:■) et donnons à z une valeur voisine de-^- En 

vertu du théorème fondamental de Cauchy sur l'intégration des fonctions holo- 
morphes, nous pouvons effectuer l'intégration qui donne /{:•) le long d'un 
chemin curviligne ainsi construit : ce chemin coïncide avec le segment recliligne 
(.r = o, X = i), sauf aux environs de ^ où il affecte la forme d'une demi-circonfé- 
rence. Celte demi-circonférence doit être prise assez petite pour ne contenir à son 
intérieur aucun point Xp, ce qui est évidemment possible. En outre, celte même 
demi-circonférence sera d'un côté ou de l'autre de l'axe réel du plan(^) suivant que z 
sera d'un côté ou de l'autre de la coupure (tp) du plan (z). Les diverses coupures 
du plan (z) sont d'ailleurs très peu modifiées par suite du changement de contour 
d'intégration. En particulier, la coupure (tp) reste la même, sauf aux environs du 

point -^ où elle devient une petite courbe. On suppose la demi-circonférence du 

plan (x) choisie de telle façon que le point ^ et la petite courbe dont je viens de 
parler soient de part et d'autre de la coupure (tp). Dans ces conditions, on voit 

immédiatement que f(z) est holoniorplie, même au voisinage du point — • 
Il ne s'agit ici que des valeurs de f(z) susceptibles d'être atteintes quand l'on fait 
suivre à ;; un chemin partant de o et aboutissant à 4' d'un certain côté do la cou- 
pure (tp)', on aurait le même résultat si le chemin que décrit ; aboutissait à -~ 

de l'autre côté; mais les deux valeurs obtenues poury(;) ne seraient pas forcé- 
ment égales. On voit donc qu'en général, si les coupures (tp) ne sont pas 
essentielles^ /(z) n'est plus uni/orme. 

Imaginons (juc z parcoure un chemin fermé parlant de Zq i voisin de -^ 1 cl \ 

revenant après avoir franchi ntp fois la coupure (//, ) dans le nièinc sens, sans on 
franchir aucune autre. Les considérations précédentes permollonl de calculer 
aisément la ([uanlité dont s'est ixccvuc /(z^) (M : il suffit d'a|q)li(juor los niélhodos 
de ]\1 . llcrniiU; sur les intégrales à coupuios. l)é>ii;n()ns par \\p \c rosiilu l-^^/'lau 
poinl Ip. I^^n supposant (jue ce point soit un pôle simple de 1\/), la (pianlilo on 
question est 

(')y(-n) «li'signc ici la vaitMir m c,, tK" la l>raiHlii' |>iin(iiialo de /{ z). 



>.^'j K. ir. liOY. 

I)aii> los c'oiulilioiis iii(li(juccs, y*! ô) a donc, dans le domaine du point -;', une 

inlinitr de tlélei ininalions se déduisant de la détermination princi|)ale |)ar addi- 
tion de l.i (iiianlité piéec'-denle où l'on donne successivement à m j, toutes les 
valeurs positives ou ni'i;alives. 

Plus généralenuMiI , supjxjsons <|ue 

a désigfnanl un certain entier positif. La quantité dont s'accroîty*( -„) est le pro- 
duit de ■impT.i par le résidu de ■o{x)¥{^Zox) pour x = Çq, Ço étant donné par la 
lormule 

Or, dans le voisinage de ^o (fju' est lui-même très voisin de Ç), '-^{x) est liolo- 
morphe et l'on peut écrire 



D'autre part 

II 11 



Le résidu considéré est donc 



^-? (•^-^0)=' 



./='-> 01 ^• 



■2 m,,- 1 



'' ' (a — i)! dx^-' s« 

(^est une généralisation évidente de la formule établie plus haut pour le cas 
o«i /,, est pôle simple de F( t). 

Si tp est un point singulier quelconque (pôle d'ordre général ou point essentiel 1 
de la fonction uniforme Fiy). on a par la formule de Laureril 



F(0=^Aa(^-^,)'^^2]'^^ 



et il vient 



(^^-^)P-' 



^„\ 



om -c-y ^^ ' ^ ^AilZ 



pDiii expression de la quantité dont s'accroît f(:-^). 

Dans le cas, tout à fait général, oîi !*'(/) n'est plus uniforme et où tp est un point 
d'espèce quelconque de cette fonction, il faut calculer directement le résidu de 



SUÏl LES SKRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 335 

'j(a:) F(Z(,x') pour X = ^0- Nous nous bornerons, pour énoncer nos conclusions, 
à considérer la formule simple relative au cas où tp est j)ôle simple. On verra 
d'ailleurs que ces conclusions sont néanmoins générales. 

Notre formule (i), établie pour le voisinage du point -.^> peut être étendue 

à tout le plan par prolongement analytique. Mais on ne considère toujours pour; 
que des chemins ne rencontrant que la seule coupure (tp). 

La dernière restriction est inutile. Les mêmes raisonnements montrent que, 
si z est regarde; comme pouvant décrire un chemin quelconque, f{z) a une infi- 
nité de déterminations qui se déduisent de la détermination principale par addi- 
tion du terme 



'2r.i^/n,,l\,,-o(-^ j 



où ?np et Ry, ont la même signification que tout à l'heure et où le signe ^ s'étend 
à l'ensemble des coupures traversées. 

Une importante conclusion découle de là : /{z) est liolomorphe en (oui point, 

sauf aux points Ip et aux points -^« Mais ces derniers points ne sont singu- 

liers que pour les branches de f{z) autres cjue la brandie principale. Il en 
est de même du point o. Quant au point oo, c'est en général un point sin- 
gulier pour toutes les branches. 

Il est manifeste que ce théorème s'étend au cas où la distribution des points Xp 
est absolument quelconque. Mais alors les branches de /{z) autres que la 
branche principale peuvent avoir des singularités non isolées, par exemple des 
coupures essentielles ou des espaces lacunaires. Ainsi soit 



<{x)—^a"x"' (o<«<i 



Toutes les branches de/{z), sauf la branche principale, sont holomorphes à l'exté- 
rieur du cercle de rayon i et admettcnl la circonférence de ce cercle comme 
coupure. 

Il est, enfin, bien entendu (|uo, s'il y avail des poinis .fp dont les allixes lusstMil 
réeHes et comprises entre o et i, on devrait tlaboril supposer ces points tels que 

l'intégrale 

t 



•'il 



ait un sens. Il faudrait cMisuile axoir leuilu (^[.r) unilt)rnu' par îles convcnlii)u> 
appropriées. Cela fait, t»n Irouverail comme poinis singuliers de toutes les 



.Î3G i:. ir r.oY. 

In'.iiitlios dey^z"), oulre les poiiils /^,. cchk tics points '- (jui correspoiulent à 

' '' 
i\c> .ff, siliK's sur le se<;inenl (o, \) du plan (.'■). 

10. Pour finir, voyons sur un exemple simple comment on dclcrmincrait 
le degré de généralité des représentations précédentes. 

Soiiy*(c) une fonction analytique n'ayant à distance finie (pie le point sit)gulier 
z = \. Supposons (pi'un circuit autour de ce point change /'(c) en /'( c) -+-_/',(-). 
Je pose 



i)'o( 



Si rintéerale 



■^rj'-o[^)=AU). 



«^ ' ^ 



a un sens, je considère la fonction 



^("^-^x 



Il est clair cpie la dilï'érence 

dcc 






est une fonction uniforme n'ayant à distance finie que le point singulier :■ = i . 

On voit la conclusion qui découle de là : il y aurait lieu de chercher à la géné- 
raliser. 

17. Le cas le plus complexe que j'envisagerai dans ce ^lémoire sera celui de 
l'intégrale 

o{ôc) A (a-, z) dx. 



f 



(C) 

(l désignant un chemin de longueur finie ouvert ou fermé, et A une fonction ana- 
lytique de - holomorphc autour du point ;; = o. 

On obtiendrait sans peine, dans ce cas général, des théorèmes analogues à ccu\ 
que nous venons de rencontrer à propos d'intégrales plus simples : je n'y insis- 
terai pas. 

Les coupures sont ici les lieux géométriques engendrés par les points singuliers 
de A envisagé comme fonction de z lorsque le point x parcourt la ligne (] : lieux 
qui peuvent être des points, des courhcs ou même des aires. 



SUR LES Slir.IF.S DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉIINIES, ETC. j3'] 

Enfin il m'arrivcra aussi d'avoir à considérer des inlégrales dont les limites 
seront infinies. La discussion de ces intégrales, envisagées comme définissant des 
fonctions de ^, se fera toujours très facilement [)ar les procédés classif|ue>. 

Jl est clair, en vertu de la proposition fondamentale de la théorie du prolon- 
gement, que, si l'on met une même série sous [)lusicurs des formes décrites plus 
haut, les diverses définitions que l'on ohtient pour la fonction étudiée sont équi- 
valentes : seule peut varier la région du plan où le prolongement se trouve 
efTeclué. 

Il resterait à voir quel degré précis de généralité présente la méthode dont je 
viens d'exposer les principes. On examinerait pour cela les propriétés caracté- 
ristiques des fonctions représentées par les divers types d'intégrales que j'ai 
signalés. J'ai donné plus haut un exemple d'un pareil examen. Mais la discussion 
générale ne saurait trouver place ici. 

18. Un mot de conclusion. La méthode que je propose est basée sur remploi 
de certaines intégrales définies dépendant d'une variable :;. Dans tous les cas, le 
problème du prolongement analytique est ramené au choix d une forme simple 
convenable [)Our le facteur du coefficient différentiel (|ui contient r, car c'est ce 
facteur qui détermine les propriétés de continuité de l'intégrale, et à la mise des 
coefficients de la série donnée sous la forme de certaines intégrales définies, car 
c'est cela qui permet d'identifier la série en question avec une intégrale du type 
choisi. Le ])réscnt Mémoire est consacré à la résolution de ce double j)r()blèmf 
dans les cas les |)lus usuels. 

On voit combien est vaste le champ des applications (|ui se présentent et, si 
j'ose dire, combien la méthode proposée semble élastique. Lue longue cl 
])alienle observation des faits analjlKiucs naturels peut seule nous apprendre 
(juels sont les Ivpes d'intégrales (pTil est le plus avanlagcux île consuléier. Il fau- 
chait avoir établi beaucoup de foiniules relatives au calcul inverse des inlt''giale> 
définies pour être en mesure de tirer plein parti de notre procédé de pri)longt'- 
ment, comme il a fallu réaliser beaucoup de (|ua(lraliirt'S a\anl de poiiNoir inanur 
facilenicnl les iiilégrales iléfinics ordinaires. On coniprendia diin»- (|ui' je nu- 
boiiic, dans une première élude, à des généralilés el à de> exem[)les. 

IV. — (^UELQUKS CVS siMPLKS of i.i: < ni;i i-icii:.NT c.iLnkiul y.,, 
KST UNE I•o^^Tlo.^ \\M.\ritMi: m; /i . 

\\). Si nous envisageons une série de l.i\ltir 



/(/(•. </c /.. •• -S.. 11. 



;^38 



i:. i.i: no Y. 



coin «M'ijcntc ll.lll•^ le (cicU' de i;i\tiii i, les tiiconsliinccs les plus sininlcs >()iil 
relies où Ton coiiiiiiil rt*\|)ri'ssion oxplicilc ilc v.,, vu Idiictioii de // . (le eus se len- 
eoiili-e d'iilllems h éiniemmeiil ilans |(>s ;ipplie;il ions, el nous ;iIIoms IouI (Tiihord 
i étudie r. 

I.oin de |)i('lendi-e é|iuisef l;i (|uesUuii, je nciix siiiIouI indupier des niélliodes 
pieeises el les dlu>liH'i' de ipielipies exemples hieu iiels. 

t2(>. .Il' Ir.iileiai didtoid un cas |)ailiculier (jui fera conipiciidrc la luarelie (pie 
p' eoinple sui\re en i^c'-utTal. 
S,)it la série 

o(-)=y— > 

'^ ' ^ ni' 
i 

où f) désigne un nombre quelconque dont la partie réelle est positive. Ou a. 
d'après la lliéorie des inlégrales eulériennes, 









Celle nouvelle expression représente la fonction cc(z) dans lout le plan el met 
en pleine lumière ses diverses propriétés. Voici ce qu'on en déduit à simple in- 
spection, conformément aux principes exposés plus haut(')- 

La fonction '^{z) est holomoiplic eu tout point du plan, sauf peut-être pour r 
n'-td et plus i;i and (|uc i . La partie (+ i , + oc) de l'axe réel OX est, en apparence, 

une cou|>uie pour '.:>{ z). Mais, L— étant holomorplie, cette coupure n'est ])as 

esscnliellc, cl les seuls points singuliers cfTectifs sont c- ^ i el ^ = ce. 

On peut calculer numériquement '-5(^) et ses dérivées successives à l'aide de 
la formule |)r»'cédenle, et cela sans intermédiaires, pour un point (|uelconque du 
plan . Il \ lent . par exemple, 

"> K/')J. \ -'7 (i-;.r)"-' l{p)J., \. -r) {i-zxY 

ce qui loiiinil le uio\en de conslruire ininiédiatemciit les séries aux(juclles con- 
duirait 1.1 iiK-lliode ordinaire de prolongement. 

La fonction 'i( c ) n'ot pa- nniloiinc \|ipel(iii-- ['^(::i] sa (Irlcrni ina lion j>iin- 



■ ' ■ Jf «niipo«c p réf! po' r ?im|)lifi(^r. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 339 

cipale (celle f|iii est développahie en série entière aiiloiir de i'oiigine i el d«.'si- 
<;"non.s par la caractérislicpie L la brandie du loj^arillune (|iii se réduit, pour les 
valeurs réelles el positives de la \arialjle. à la détermination arillimétiijue. L ex- 
pression générale des valeurs de '-5(5) est 

si ron a tourné k fois autour de ^ = i et A fols autour de ^ = o. Ou voit ([iic ce 
dernier point est singulier pour toutes les branches de '^{z-) autres que la branche 
principale. 

f^a (onction L — étant positive pour o ^;r ^ i , l'équation o(s) = o ne peut avoir 
sur le plan |)rincipal, outre la racine nulle, que des racines réelles et supé- 
rieures à I . 

Pour :^<^o, 'i(;) prend des \aleurs réelles et négatives, et le rappoit j)0silit 

décroît à mesure que la valeur absolue de ; augmente. 

Quand 2Ji devient infini avec un argument diflerent de zéro, le rapport —_ — 
tend vers zi'-ro. 

Qu'arrive-l-il enfin lorsque :; tend vers i? Si /> >> i , 'f(^) reste linl, et Ion a 



1(1)= 1 h. ..H 



mii^^ï 7^. 



car rinlégrale du second membre conserve alors un sens. Mais, si /> <C^ i , })OSons 



Le chaiiyemeul de variai)lc L— = /î donne 



z J^ e£'_(,_£e'0) 

I''aisoiis tendre s vers /.vvo, ri'slaiil (i\e. 

Soil T =-• /e '^. On IrouNc bien l.uiUinrnl 



I-i-T Sin/'TT 



= r(/>)r(i-/?). 



34o K. ir. KOY. 

noue. lors(|iii> r Iciul sers i , 'j(^; ) a ninir \ iilciii' ;i-; \ iiiptDiitjiic 

Vil - P) 
(i-c)'-/'* 

C'est III) rrsiilhU <ni(' M. \|)|)fll ;iv;iil drjà c'-lal)! i en sii|>po-;;iiil :;:=()('). 
"2] . I.r (•;■> (le la série 

1 
pcul se Irai 1er de la même façon. 

Si p est lin enlier positif, o{^z) est une fraction lationnelle a\ant r — : i |iuiii 
p«'>le nnitpie d ordre />-{-•• Le ])roduil 

(i-^)/-'o(c) 

est en elVel développabic par la formule de Tajior, et les coefficienls du dévclop- 
|)ement (^conime on le voit de proche en proche) sonl, à partir d'un certain rang, 
les diirérenees d'ordre p -+- i des rpiantilés nP. Ces coefficienls sont. nuls. Donc 
(i — :-)P'^' '■^(^) ^*'' l'ô^^li'il 'I "" polviioine l*{z-) et la conclusion se trouve! ainsi 
établie. 

Si /) est positif sans être entier, appcdons rj l'entier qui lui est immédiatement 
supérieur. On a 

en posant 

1 

et r('tude de '-pi ;) est aisée à laire, puis(|iie (,}{:■) est un ])olvnoinc. 

Anus rayons, en résniné, que notre mélhocle permet il' étudier coniplèlc- 
nient , dans tout te plan, les fonctions déjinies autour de l'origine par une 
série du type 

2""-"' 
1 

ijui-llfs fjuc soii'nt les valeurs réelles ou ima iiinaires de j>. 

Celle proposition s'élend sans diKicnltés au cas d'une comhinaison linéaire des 
séries précédentes. 



(') P. Appell, Comptes rendus; 1878. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 34 1 

Ce premier exemple étant traité avec quelque détail, on voit bien maintenant 
le mécanisme de la méthode; rien ne serait plus facile que de multiplier les 
remarques précédentes, et nous pouvons donc, sans insister davantage, aborder 
la démonstration de théorèmes plus généraux. 

22. Considérons le cas où a„ est une fonction analytique de n régulière dans 
le domaine de l'infini. Soit 



la série étant convergente dès que le module de n d(''passe une cerl;iine limite. 
On a 

X désignant une constatile positive convenablement choisie. D'où 

a„ = / 9(.r)x"-'<r/ji7-|->.o, 
avec 

X 



?(-^)=2^v 



{p) 



11 est visible que cp(jc) est une fonction entière de L — • 
On a, pour o -< -c <C! i , 

l9(^)|<4- 

Donc, l'intégrale qui donne y.„ a un sens dès ([ue n est supéncun" à une cer- 
taine valeur /?„. Par conséquent, 






f{z)^^^.„z"^\\z) + zf o{x)^^^dx-\- 
en posant 



La conclusion csl iniuK-dialc : /'i z) t'st iinr fonction non unijornw. hoh>- 
niorplic c/i /()/// point du phtn, sdiif pour z -- i l't z -^ x. Les tlivorsos parli- 
culanlés (le /\^c ) pcu\cnl ètic éliiduc-' -^ur rcxprcs^ion prctcdtMilc. {{(-ni.ucpions 
sculciiH'iil (|iii' z :=^ {) v>\ un poiiil ■^lll^llIl(^ |ioiir lniilr- le- i>r.nu lies ib-y'i^c'l 
autres (|uc l,i brnuclic prnu ipiilc 



xu 



r.. i.r l'.oY. 



Les iiuMues (■iuiclii>i()iis siilisi>ltiil ^i le (li''\ cloiiiicmi-ii I de y.,, coiiliciil un 
iM)ml)iH! liiii lie lorino iillVclt-s dt^xposanls poMlils, />///■ crcni/'/c st le poiitl a 
('Si un f>ôli; j)oiir %„. 

l'inlin lion n tMn|u'»li(' de liailcr iiiissi le cas où a„ ol cvprmiithlc |iar iiiu" smc 
procéilaiil >iii\iiiil Jo piiis^anccs posihNcs (jiicIcoïKitics de ~, en {xiil tciilicr le 
lits où y.,, est u/w fo/iction (t/i;('/>/ i'/itr de n /('-ai/fir/r à l'in/ini ou //"» (tymil 
t/n tin pôle [^ ' ). 

Nous rclroiiVDiis iiiii>i, diinc l'aron Utiil à fail >iin|)U', un li'Millal >ii;iialt'' d<'jà 
pai- M. l-'abrv et relalifaii cas où a„ esl une fiaclion rationnelle de n. Mais nous 
a\t>ns en plus le nioNcn de (lccou\iii- loiiLes les ])r()|;ricics des l'onc-lions (K'Iinies 
pai- les seiies de Ta\lor considérées, puis(pie nous en possédons une reprt'sen- 
lalion analNliipie valable pour (oui le plan. 

Je citerai les exemples suivants : 



X 



siii L 



./■ / I — zx 



et 



i^"-=^/'<V-^)T^ 



(pii nous seront iiiiles plus loin. Dans le second exemple, Jq désigne la fonction 
de Bessel. Ixcnianpions cpic le premier donne une expression anaivlique très 
simple, it valalde pour tout le plan, d'une transcendante que les travaux de 
Tcliel)iclie(r ont montrée ne ])Ouvoir résulter d'aucune combinaison de ("onctions 
ali;él)riques, exponenlielles et logarillimiqucs en nombre limité. 

/:"// irsiinié, nous scnons désorninis faire l'étude complète des séries où a,, 
est dé\eloppable suivant des puissances de — dont (juel</ues-unes seulement 
[e/i nombre fini ) peinent être négatiKCs. 

Il esl parfois possible de déduire de là des généralisations. Si, par exemple, 
ou a 

I v^ . 

y;, = - 2d '-'' " ' 

la série > | )./, | étant (on\ergente et les nondjres dp étant positifs, il vient 

V" i , dx 

yy.„:" = z o{x) , 

^^ / ' I — zx 



('j <)n a alors. |mni a„, un liéveloppernent «lùvaiil les |iuissances de n 7, f/ éUml ciuier. 



SIP, I.F.S SF.RIES DIVF.I'.GE.NTF.S ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. )\) 



9i^)=^h-h{'i\^o„L^y 



Comme le module de Ju(0 ^^'- toujours infc-rieur à i poui- / réel, on voit 
*|ue 'j(.r) remplit les coudilions |)rescriles. Ici la coupure peul èlre edeclive, 
car 'f (^) n'csl pas (oicémeiiL anal\ lupic. 



23. De ce qui précède j^eut se conclure un lliéorème auf|uel j ai été conduit en 
même temps que JNJ. I^eau ('). 
Soit 



^=2^=^"-^'^'" 



a\ee 



n 



Nous savons éludicr la série 



donc aussi la S(''ri(; 



y s (-)=". 



iHr.'^-' 



puiscpie celle-ci ne dilTère de In piemière que par la soustraction de la troisième 



iM'h 



(|ui d(''linil évidenuiient une fonclion entière. 

Sans insister siii' les cousé(|uences que l'on peut tuer de là, rcuiari|uon> ipic. 
si les ('oedieienls y.„ sont (|uelconqucs, un procédé d'étude cousi-Hte à essaver de 
1rs inci I rc sous la (orme 

«„=>.„+- -H... 4--, 

rn c;d(Milanl les \alcnrs dos A/, à l'aide des écpialions lincincs pici <'denl'>. ( .,<> 
i'(pialion<, (Il nondiic iidini, sont résoluhles de |)roilie en proclie. puisque elia- 
riiMc délies eoiilieiil seuUrnenI une ineoiiiMii' de plu'> (pie les pré-cedenles. 



(') \a:\\, .liinriiiil <li- Miillirniitltifiiis; |S()(). 



> I I t. II. iiov. 

I, iiiiKini' i iiinlilion rt"i|iiist' l'sl (|iu' la .scnc 

m- MUl |ia^ loii |»)ui"> (li\ rri;c'nl('. 

'1\. \|irr^ a\ OU' cxaniiiu" le cas où a„ est une loiiclioii anal \ liiiiic de '/ i(':;iili(''i c 
a I inlini, Mi|i|iii-M)ns (|ii(' n = y. soil un point sini;nli('i- de y.„. _N(i(i> iinai;incion> 
(I alioiil ([ne ce point -^oil sint;iiln'r |iom- a„, ru)n pa> on Ini-nirnu-, mais ((iniinc 
limilc tlt^ points sini;nln'rs. 

On a 






.)'■■'"■ 



o^"- ' ci.r, 



Ic-^ parties réelles de a j, et de Z^, sont posllives. Si donc y.„ est de la forme 



II: 



les parties léellcs de (/,, et de /;,/ étant |)osilivcs et la série 



vv 



fn.a 



a':' 



étant convergente, on |)onrra étudier dans tout le plan la lonction > 'J-nZ-". 
JJivcrscs généralisations sont d ailleurs immédiates. On lrou\e, par exemple, 



.^y^. 












•i"-' (U, 



sous cerlaines conditions très larges ([u'il serait bien facile d ('crire. 

On atleinl ain>i des cas étendus où le coeflicient général y.„ est donné par une 
série simple on multiple de fractions simj)les. .le me contenterai de signaler hriè- 
\cinenl une application. 

Soil 

T'{/i-ht) 



On a 





T' T " — C -H /* > ", ; 



SIT, LF.S SÉRIF.S DIVKUGENTES ET LES FONCTIONS DEFIMES, ETC. J\J 

C tlésignanl la conslanle d'Eiiler. Ij'où 






cl l'on voit que »(-) n'a pas d'antres polnls singuliers que :■ ^ i et :; = a:. 

D'une façon générale, je vais montrer que celle conclusion subsiste si y.„ est lu 
dérivée logarithmique d'une fonction entière de genre Jîni n'ayant fjuc des 
zcros simples à parties réelles négatives. 

Soient/? le genre et — a^ un zéro de la fonction cnlirre. On a, d'apir^ le iIh'd- 
rèmc de M. Mittag-Lefller, 



^ ^ ^ L« -h a,, a,, 



... -+-(-«)' 



«/'-' 



« 



1* désiiînant un polvnonic de dci;r('' p cl la série > -, — - étant con\ erirenlc. 



Nous n'avons pas à nous préoccuper de la série 



ilout l'élude est immédiate (n"l21). (^ela posé, le second terme de y.„ peut s'écrire 



<-""'"'2<(7rV-.7)' 



(•(! (|ui peut se mettre sous la forme 

(— i)i'nf I o{x).v"-^ du, 

en vertu des remarques énoncées plus liant. Mais on a ( n" 21) 

>/?/'( = . r)"-' — ^^ ' 



(i-.-.r)'-' 



D'où 



Qiz.r) 



^a,.z" Vl>(,o."-4-(-.K. / ..(.) -^ii^^.,. 



il la (picslion <'st rt'-soliic. 

l'inalemciil. nous avons le llu'orrmi" ■>ni\aiil 
/\ic. lie /'.. r S., M. 



i\ 



) |h r. 11. l'.ov. 

Si -x,! es/ lu (liii\rt' loiiiiiilltntitjui' d' iiiw fituciinu l'iitirrc de i^rnrc Jini 

n'inonl ifiic des zcjos siin/ih's à /xi/tics i celles /iéi;(iti\es , lu se/ te /^ y.„ z" 

u 

/II/ i/i/e les pni/ils si/it;i/lie/'s z -- \ et :; = gc ('). 

il u'\ iiiiiail iiiiciinc diflicMiIlt' à ('•Icndrc ces considéralions au cas où la fonclioii 
tiiliric aiir.iit des /.i-it)-; imdllpics. Mais, sans plus lusi>lcr, je passe à rexanicn i\i\ 
cas où y.„ {•<{ une l'onclion orilière de /i, ce (jui va nous donner un nouveau 
llit'orènie. 

"IV^. Klahlissons d'ahord un letnnie. On sait, depuis les Iravaux de M. Iladaniaid, 
i|m> 1(1 (o/iili/io/i /léeessat/c et siijf/sa/ite /)0(//- qu'une sé/ie de l'i/ylo/- /^ v.,, z" 

lep/cse/ile une fonelio/i enliè/e est que la qu/^/itilé j %„ i" le/ide ve/s zéz-o 
quand n augmente indéfiniment. Nous allons généraliser ce résullatel démontrer 

<pie la eo/idition /iéeess(/i/-e et suffisante pou/- qu une série de Taylo/- ^ y.,i z" 



/■ep/ésente une J'onel io/i u/zi/o/z/ie da/is tout le pla/i /i ayant à dista/iee fi/iic 
'ju u/i poi/il si/1 gulie/- z ■= -zr est qi/e l o/i ait 

(Xu = 0„ + hn't". 

Il 'S qi/a/ilités 

\On\\ |A("'6„]« 

le/ida/it rc/s zé/-o qua/id /i ai/g//ie/ile i/idé/i/ii/ne/it . On a posé, dans cet ('noneé, 

A""^, = h„ - Cl 6„_, 4- (:f,hn-,- Q^«-3 4- ... 4- (- i)''6„ 

conforméuient aux notations usitées dans la théorie des différences, les lettres C^ 
di''sii!ii;inl les coefficients hinomiaux. 

En cfTet, soil /{ z > une fonction unilornie n'ajanl à distance liriie (pi'un seul 

point singulier: z= . ■ La Corniule de Laurent nous donne 
li et (t dési'^nanl deux (onctions enlirres. 



( ') Un déplaceiiienl de quelques rangs dans la série permet de traiter le cas plus général 
où lc« pôles fie a„ «ionl tous situés à gauche d'une parallèle quelconque à nj-. 



SIR LES SKiur.s nivi:n(;i:.\Tr.s i:t les fonctions dkiimks, kti:. '^)\~ 

Il est clair que /"(:;) est développable, auloiir de o, par la fonimle de Tavlor 



Le cercle de convergence a pour rayon p— • 

On peut écrire 

«« — o„ -+- b„ }." 
1 
et j «// 1" tend vers zéro, puisque a„ est le coefficieiil du terme de ranii /' 
dans H(^). Étudions b„. 
Soit 



Le changement de variable 

// V 

= i-, = a, 

u — i r — 1 

("ail dans l'égalité 



'■■(v^)-^^""-' 



donne 



Or, le premier membre est une l'onction cnlière de r. Dduc A" l>o\" leiul \ers 

I r ,. . , , . . , 

zéro avec — • Les conditions énoncées sont ainsi /icccssaucs. 
n 

11 est facile de voir (pi'ellcs sont aussi su JJisanles. En eflet. le calcul prt'cédeiil 

permet de déterminer H et G comme fonctions entières à j^arlir des <t„ el h„, 

pourvu (pie les quanlités 

1 ' ' 

leiulenl \ers zéro avec — • 
// 

l^lus généralemenl, la coiidilioii nécessaire et sufli^anlc |>oiir (pie la série de 
Taylor > a,, c" représente un(> fonction imiroinu' ilans tout le plan n'aNanl tpi Un 



nombre liiiiitt- de points singuliers 

I I I 

r ' r ' • • • ' T 



;V|S r.. i.r \\o\. 

r>l (jiif I on ;iil 

/' 

«/. = ^« +2 f>,i.,'t',\ 
If-^ (111,1111 llt'S 

|«„|", 1A"')/>„.,|'^ 

Iciiil.iiil \crs /('lo (111.111(1 // aii^iiiciilc iiulrliiiiinciit . 

Il >oiiiil |»()s>il)le, sans aiiiim (li)iile, clVUendre ces considéralioiis, à l'aide du 
llu'oièiiu' lie M. lMillai^-I>crilor, an cas tie foncLions uniformes possédaiil une 
inlinilé déiu)nd)ral)Io do poiiils singuliers, au moins sous certaines réserves. 

•le nie lioiiieiai à (aire i('niar<|ii{M' (jue, si l'on peiil rc'aliser réyalilé 

3f« = o„-\- l" b„ I o{.r).r " d.r, 
on a 

L'élude de la fonelion /{:■) esl alors facile, el certaines «^cnéralisalions sont d'ail- 
l(uirs immédiates. 

!20. Nous allons a))pli(|uer ces résultais au cas où Ion a 



la série 



définissant une fonelion entière de a. Ici, 

A"')ao = >.«-f-^ ^[/'"-(:,U/'-i)''-+-c;U/'-2)/'-q(/<-3)/'4-...], 

n-h 1 

en vcilu de théorèmes bien connus relatifs à la théorie des diflercnces ; d'où 

lA<«)a„|<,).„|[n-M(2e)"], 

i_ 
M (|é-ii,'nanl une ceilainc conslanle. Donc |A^"ao|" tend \ers zéro en nièiiie 

temps que |).,i|"- Ainsi, si y.„ est une fonction entière de n du type indiqué ( ' ), 



(') Il suffit, en paitiriilicr, que a„ soit une fonrtinn entière de n d'ordre apparent infé- 



rieur a I . 



sril i.Ks sF.c.iKs Divr.p.cKNTr.s r.T i.r.s ioncïio.ns dkcimf.s, kic 



^lî) 



La série N a,,c" dé/init une fonclion f{ z) uniforme ii ayant à disLance fini»- 



que le point singulier z = i '■ f{z) est d'ailleurs régulière à r infini. 
Soit, par exemple, 

Jo('-*<V«). 



/i H- I \ Il -\- \ 



J„ clésienaDL la fonction de lîessel et g une fonction lioloniorniie de — • On .1 

' /< -r- I 

°° 1 

en verln de ce f(iii précède, et rélude de la série peut se faire sur cette forinulr. 

Si n.n était développable suivant les puissances de /«'', les autres condition^ 
restant remplies et /> désignant un entier positif, on écrirait : 

(Xn=''?o{n)-h nP Oi{/i)-h. . .-^ n i> 9^_,(«); 

chacune des Ictties cp, représente une fonction entière de n du type précédent, cl 
Ton serait ainsi ramené à une combinaison linéaire des solutions que nous savons 
obtenir. 
Exemple : 

't ''0 

d'où 
1 

formule obtenue imnK'diatement par application des diverses remartpies (''nuini'- 
récs ci-dessus cl dans laquelle les Icllrcs 

(l,. ("1,, (i, 

désignent des fondions entières aisément calculables. 

!27. Le cas où y.,, est une fonction entière de // peut encore être traité par une 
mélhode se rapprochant ilavanlage de celle tpii nt>us occu|>e dans ce Mé-moir» . 



i)0 

Soit 



la >éi If 



1.. M. KOV. 

«0 

u 

u 
2 >■/'«'% 



.i\;int un li'ilam cercle de coiiverjjence. l'osons 



o{0)=-^l„-h'^l,, a'' cospO. 



e' cos —SI 11 9= > — r — cos pO. 



cl 



Supposons a choisi de façon que la série 'f (0) converge. Alors on a 

9 1 - ""OS / /i \ 

!X„= - I o{0)e" cos(-sin5W5 

iii5' 



/(^ 




cosO 

1 — z e " cos 



o{0) 



-TT /sinO 
I ^ — ?, ; e cos 



2cosO 
. 2 ^ " 



dO. 



l)"oii le |»rolongenienl de la sév'ie /(z). 

Su|)|)osons, pour fixer les idées, a réel et posilil'. O/i voit que /(z) es/ iini- 
j'oriue ri holomorplw dans toute la région du plan située du même côté que 
I oriainr par rapport à une certaine courbe. Celle courbe consliluc une cou- 
piiif (|ui |)(iit nèlrc pas csscnlicllc. l'^n posanl 

zz^ X -^ ir, 

on trouve une représenlalion pai ainélric|ue de la coupure 



co» / • /• 

-TTCos/sin^ 



.sO 



y = e 



<\uO 



cl, jiour conslruire la courbe, il suKil de faire varier de — -à + -. Plusieurs 
cas sont à tli>linuucr. 



SI;R LF.S séries divergentes et les fonctions DEFINIES, ETC. J)I 

Si a peut êlrc pris aussi grand que Ton veut, c'est-à-dire si la st-rie / 't-,,11'' 


définil une fonction entière, la coupure se réduit à une petite courbe fermée en- 
tourant le point I . La fonction /(-) est alors uniforme et liolomorphe dans tout 
le plan, sauf au point i, qui est un pôle ou un point essentiel. On peut |)rondrç. 
par exemple, pour a„ Tune des expressions suivantes 



e< " + c?-* « 



) cos(v^«)' ^^c^''^ 'H 



Elles appartiennent toutes au type étudié. 
Si l'on a 



o<-<-, 
a 



la coupure afl'ecle la forme qu'indi(jue \njig. 1 ci-dessous. La fonction y'ic i est uni- 

Fis. I. 




forme cl holomorphe à 1 extérieur de celle courbe. Tel est le cas où 



y.„—y e-P^i'nP. 



On peut prendre ici 



(ou, tout au moins, a peut être pris aussi peu infiM leiii- qu'on le veut à <' ), comnu 
rap|)ren(l Tenqjioi de la valeur asymploliqu(^ de \\p-\- \). lel est eneoi'e le ra> 
où a.„ : J„(/i), (pu conespond à n ^=^ \ ('). 
Enfin, si 



;;^^' 



(«) On a 



j.(„)= l f ^.2îi^,„ - V,_,v. "J^ y,_,„. ■ -3.5 (■.;,-) 



Tpp. 



3j2 1,. i.i: nov. 

la coiipiiiT .1 1,1 liiinic 1 11(1 i(| iit'O (^^ //,!,'. :>). On n'a anciin icn>fi:;iii'ni(Mit ^ur/Vr) 
à nn>in^ (|iu' le ra\on de conx crgcncc' de \^7.„z" ne soil inf(''iioiii- à i. La nirmi 



l-is. i. 




(•M(H»n>lan(0 a lien nom- >■ t. l'our cilcr un cxciiinic de ce cas, ii' jircndr.ii 

V», rL''n'> 



a\cc 

o <>/,</.. 

Le lavoii de coiivcrgenee a ici |)onr valeur c~~\ si les /.,, sont eonvciiahlenienl 

clioisiN. Lr rais(tnnenienl |)i(''eédenl nionlre alors (|uc la série ^a„c" n"a (|ue le 

point t'~~ eoinnie |)oiiil >iiii;ulier silué sur le cercle de convergence. 

;2S. ( )m [itMil cncurc relron\er les mêmes résultais à l'aide du llK'oi'éme des 
I i'--«idiis. Soi!, m <'irel , 



Il vient 





' r 7 «(■'•■) , 
''■=^uU -r- ''■'■■■ 



C dé>igiianl un contour fermé (|ui englobe l'origine. 

Je n'insisterai j)as sur ce |)oinl. Mais je ferai cependant icmarquci' t|ue, >i I on a 



'■"-'= ^"t'r'i""^ 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES EONCTIONS DKIIMES, ETC. 353 

1 

la (juantilc \\'^"'bo\" Icndanl vers zéro quand /i devieiU iiilini, on peut écrire 



-- -£.-''<;±5)- 



G( étant une fonction entière. 

La méthode indiquée dans ce paragraphe est particulièrement avantageuse, si 
Ton connaît les points singuliers de la série 



Dans ce cas, en effet, il vient 

C désignant un contour qui renferme à son intérieur toutes les singularités de 
G( — )• On peut prendre pour contour C un contour formé des pièces suivantes : 
i" un petit cercle entourant l'origine; y° des petits cercles entourant chacun des 
points singuliers a de G( — |; 3" des morceaux de courbes reliant chacun do cc-^ 
derniers cercles au premier. Le contour C est ainsi une sorte de lacet iniilli[)le. 
Cela posé, la coupure est donnée ici par l'équation 

quand x décrit C. On voit que c'est un lacet multiple analogue au précédent, 
dont le centre est le point i et dont les branches vont tourner autour des 
points e~*. La fonction f{z) est holoniorphe dans tout le point, sauf pcut- 
êtrc aux points z ^=^ v et z =^ e~^. 

!21). Nous savons traiter le cas où a„ est une (onction entière de // d'ordre inté- 
rieur à I. On pourrait songer, pour faire la discussion (rime série (|iulcom|iif, à 
mettre son coefficient général y.,, sous la forme (riinc lonction enlière à laide îles 
procédés (rinterpolalion. Il est aisé de \oir (|iie cela ne doiinerail run de >iinplf. 

Supposons en ellel, pour plus de siinplicilt'-. cpie la st'-rie ^ x„ -^oil coiwei- 

gentc (' ). Posons 

©(0) — \ a,, eos^y. 



(') Si lollc coiulilion n't'lail pas lomplic. \\\w\< t|Ui' le ra\(»ii do lOiiMTijoiirf il»> N j,, -i 



l'iU égal à I, on opérerait, p,ir ('\i"in|ilr. -nr Ic^ iioinl)ro> (.'~"a„. 

Fav. lie r., >: S.. II. i ) 



35/| r.. Il" r.OY. 

( >n ili'diiil {\c l;'i 

a„— - I o{0)co^nOdO. 

el a„ csl hicii mis sons forinc (riiiic ronclion cnlirrc. Mais ici 



On ,\ tloiio, en général, 



I 
o — -> 



Cl Von ne pnit ri. mi conilurt'. I.cs nti'thodes d' inicipohilion nous rdmcnenl à 
un prohii'nii' prrcisémcnl (lussi dilJicilc ([uc celui du pvolonij^onu'ni : l'élude 
de la série trip;onon)étri<iue '-p(O). 

30. Un llu'orénic scnihlahle à celui du n" 23 peut être énoncé ici. Posons 

00 



! 2 1 // 






Ad mêlions qnc la séiie 



élinissc une fonclion cnlière. Nous savons étudier la série 

oc 



donc ausM la série 

00 



car celle-ci x\v dillVre de la |)icmièrc que ])ar la sou>^li aelioii dr la Iroisième série 

i;n„=", 



fini rcpi ('•seiili' cn idcmmcni une IoihIumi euh» rc. 



Sril LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 355 

Si les coefficients a„ sont quelconques, on peut essayer de les mettre sous la 
forme 

en calculant les Kp à l'aide de ces é(juations linéaires. Lunifjue condition requise 
est que la série 



^r,>aP 



converge pour toute valeur de a. 



31. Nous arrivons maintenant à des théorèmes plus généraux pour l'établisse- 
ment desquels nous devrons seulement supposer que a,, est une fonction analy- 
tique de n holomorphe dans un cet tain domaine auquel appartiennent les 
grandes valeurs positives de n. 

11 ne sera ])lus nécessaire ici de faire comme précédemment des hypothèses 
complètes sur la nature analytique de a„ dans le voisinage du point x. Les seules 
conditions requises seront de l'espèce suivante : a„ devra vérifier certaines iné- 
galités asymptotiques. 

Quoi qu'il en soit, voici tout d'abord un principe qui semble devoir être fécond 
dans l'étude de la question qui nous occupe. 

La méthode des représentations conformes, utilisée par M. Luulclof^' i dau^; 
la théorie du prolongement analyti((ue pour transformer une st-rie île Tavlor en 
d'autres séries analogues ayant des régions de convergence variées et de plus en 
plus grandes, peut encore servir à mettre une fonction donnée |)ar son tlévelop- 
pement tavlorien sous la forme d'une intégrale délinie semblable à celles (|ue 
nous avons considérées plus haut. Le changement de variable poile alors, non 
sur la série même, mais sur l'expression du coefficient %„. 

Sup|)Osons d'abord (pie a„ soit une ("onction analytique de // hoiomoiphe pour 
toutes les valeurs de /i dont la partie réelle est supérieure à — r, . Faisons la trans- 
formation d'Euler : 

n / 

n -M "" ' I — t ~ " ' 

il vient 



la série étant valable pour loules les valeurs de // eonsidt''i'é<>s. Adinetlon-^. pi^ur 

eonnneneer, (pie la série 7 A^, soit absobunenl convergente ou. loiil .lu innius. 



(«) /.or. cit. 



)■)(> r.. i.F. noY. 

ahsoltmuMil soinin;il)li' au sens di* M. Udifl : cela siguilio, comme on sail, (jiic 



inlc'M'alc 



a lin sons. 
On .1 



f .-. 2^^.f 



IpOC'' 



dx 



(') 



J n I • 



|)our ioulc>; lo^ valeurs entières de /t à paiiir de i : cela résulle de la théorie des 
intégrales eulériennes. 
On déduit de là 



dx. 



Mais nous avons vu ( n" 22) cjue 



dy 



^fV 



Jo désignant la fonction de Bcssel. 

Prenons, dans le plan de la variable :;, un domaine T qui ne contienne à son 
intérieur aucun point de la portion (+ i, + ^) de l'axe réel. Quelle que soit la 
position du |)oint z dans ce domaine et quelle que soit d'ailleurs la valeui" positive 
attribuée au |)aramètrc .r, on peut assigner un nombre positif M auquel restent 

infV'iieurs les modides de la (onction > e " :■" cl de sa dérivée jiar lapport à z. 

()n \oit donc cpie 1 intégrale qui donne /"( c) est absolument convergent(^ lien 
est de même de la seconde intégrale obtenue en dérivant la première |)ar rapport 
à :;. On conclut de là que /{z) est une fonction analytKHie de z, liolomorphe 
en tout point du plan, sauf peut-rire pour z rrel rt plus ^rand que i. D'ail- 
leurs, au voisinage de l'origine, on a 

f{z) = ^y.„z\ 



comme il est aisé de le vt'iilicr. Le prolongement de cette série est donc ef- 
fectué. 

On peut évidemment ir)terveitir l'ordre des Intégrations; d'où 



/(z)..a.-h-^ + î 



X »<^)(-r^^ 



sur. LES SÉRIF.S DIVEP.r.E.NTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC.. 35"] 

avec 

Nous revenons ainsi aux formes étudiées plus liaut. 

La partie (-1- i , +00) de OX est, poury(j), une coupure qui peut être essen- 
tielle, car 'f(y) n'est pas forcément analytique. 

D'une façon générale, l'étude com{)lète de y(^) est possible sur celle expression 
qui est valable pou/- loul le plan. 

32. Quelles sont les conditions d'application du ihéorème précédent? On en 
trouvera sans peine de suffisantes, en ulilisant les conditions données par M. Ha- 

damard (') pour qu'une série de Tavlor 1 ici 7 i^ptP j soit absoluincnl conver- 



genle sur le cercle de convergence (ici de rayon i). ^ oici un cas simple : 

A la circonférence | / 1 ^ 1, correspond la droite n ^= — r, ~ Ta, a variiinl par 
valeurs réelles de — <x à +00. Supposons, ce qui ne restreint nidlenient la g(''né- 
ralité, que a„ soit holomorphe même sur cette droite. Nous voulons que la 
fonction 3(/), en laquelle se transforme a„ par le cluingcmenl de variable, suit 
développable pour | ^ | r= i en série Irigonomélrique absolument couvergcule. 
(iOmme ^(0 ^^t bolomorplie sur ce cercle, sauf peut-être |>our / -- i , il n'v a de 
difficultés que pour ce point. Or 



,,, = 13(0. (« + 0=7/„ =-^'. («-t-')'^[(" + .)'^-J = ^^ 



D'où l'énoncé suivant : // suffit que les expressions précédentes tendent cha- 
cune vers une limite finie lorsque t tend vers i en restant à l' intérieur ilii 
cercle de rayon i ou sur ce cercle. 

J'ajoulc (pic les mêmes propositions demeureni vrai(\>^, si a„ est seulcinenl lio- 
lomorplie lorscpic la partie réelle de n surpasse une certaine (puiulilé j)o>itive //„• 
Il suffit, pour s'en assurer, de négliger quelques-uns des picmiers lermc-i de 

N^a„3", ce qui ne cliange rien aux conclusions, et d'.qiplKpiir nuire tliciurme .1 

la série X,^"+/' •^"•' /^ désignant un entier positif convenablement t lioisi. 

l'.iilin, on |)Ouira encore tr.iitcr les cas où il sera possible de déterminer un 



(>) Thèse, p. 67-70. 



).)8 r.. i.i: uoY. 

ii()ml)if iMlioiincl compii-» ciitic o cl i , Ici (|iic 

a. — f'"'^ 

II,, rciii|)liss;iiil les comlilioiis ('■iiiini('T«''cs ci-dossiis ( ' ). 

Pour nous i-cri(li-c coinpic du (Icl;i'('' de i;cii( rallie ainsi aliciiil, supposons %„ 
holonn>rplu' (1rs </i(e ht partie réelle de n dépasse une certaine limite. Admel- 
lons, |)()iii- lixtM- les idées, (|ue celle limile soit néj^alive : on sait que celle res- 
tiielion n'a rien d'csscnlicl. Cela élanl, posons /i = pe"'' el supposons que n 
"•iandi>se indt'liniincnt axec un a^^unlenl au plus é^al à -' en \aleiir absolue. S il 

c.ristc un tioinhrc /■ation/icl coniPiis entre o et i tel (nie la iiuanlilé - 

' ' ù 

soit <r ordre inférieur à —.- quand z devient infini, (o restant dans les linnles 
voulues, la méthode précédente réussira et la fonction 

te 


sera holomorphe dans tout le plein, sauf peut-être pour z réel, et plus grand 
que I. En efTcl, on pourra alors écrire 

et la quanlilé e~"''xn remplira les conditions prescrites pour qu'on puisse appli- 
quer le lliéorèine du n" 31. 

\ oici (pielques exemples : 

i** Si y.„ est une fonction de y — holomorphe dès que |L/?| est assez grand; 

•2° Si y.,, est une fonction de n holomorphe au voisinage de l'origine et ('lu- 
diable par les procédés de prolongement exposés dans ce Chapitre, le point — i, 
par exem[)le, étant son seul point singulier; 

3° Si y.„ est une fonction entière de L/«, 

y.„=^a,,{Ln)'>, 



pourvu <pie les coefficients ap ohéisscnt (pour /; infini) à certaines incgalilés 
asjmptotiques (-). 



(') Cela lè-iiiilc (le ce ([u'on -ait «•tiidier la -('rie ^^e"'' z" (ii" 26). 



(*) II <uflil (|iii' la fiiiiciioii «iiiit'ic (•oiisi(lt'r(''C soit d Hrdii' fini, mai- ce n'esl pas néccs- 
?.aire; on peut prcmlre siinpicnionl a,,, de maniè-rc que | «/, | < t-j — r— (o<0«<i). — Voir 
HvDAMAJin, Mérnnire sur les fonctions entières (Journal de Mathématiques; 1893). 



SUF\ LES SÉRIi:S DIVERGENTES ET LES EONCTIONS DÉFINIES, ETC. 359 

33. Dans tous les cas trailcs jusqu'ici, a,, ('lait holomorplic dès que la partie 
réelle de n surpassait une certaine limite. C'est qu'en effet on j)eut prendre, 
comme type des coefficients a,; éludirs plus liant, ceux cjui sont de la forme 



{j{n) I 9( j") j?'* djT, 



(j{n) désignant une fonction entière d'ordre inférieur à r. ()r rinlégrale qui 
figure dans celte expression, si elle est convergente pour une valeur //y, définit 
en général une fonction de n holomorplie pour toutes les valeurs de // dont la 
partie réelle est plus grande que /}(,. 

Mais il serait bien facile de généraliser ces résultats. Il suffirait de remplacer la 
transformation d'Euler, dans les calculs du n" 31, par le changement de variable 

I 

tz=zi — 



(/t + 1)'' 



On pourrait alors se borner à supposer a„ holomorplic dans la région du 

plan (n) obtenue en posant 

n = pe"-', 

et en prenant 

I I ^ 
p> Po, OJ < -— , 

Po désignant une certaine constante. 

D'une façon générale, il suffit que a„ soit une fonction holomorplic de /t dans 
un domaine angulaire contenant, à son intérieur, l'axe réel positif du plan /i. 

Mais c'est là un point que je me contenterai d'avoir indiqué. 

34. Je vais développer maintenant une méthode générale de recherche. 

Je me contenterai d'ailleurs de préciser la partie principale tics lli<''orrnie^ tpie 
je veux établir, sans essayer d'atteindre exactement la fionlu're de leur dom.iiue 
d'application. 

Dans une première élude comme celle-ci, il faut, en ellct. vi<er •iiirlinil à la 
simplicité des résultats. 

Soit donc la série 



convergente ;hi\ eii\iioM> de l'origine, .l'appelle 



X{f) ^^l,,l' 



)(')() 



K. I.I' noY 



une loiu'lion liolomoi plie |)()iii' les pclilcs Niilciiis de /. Iin;ii;iii()iis f|iio tous les 
points Miimilici'-< (If celle loiicliiui soieni mIik'-s i"i i;;melie de l'axe iinai^iriiure (in 
|)hm /. l'oiii- plus lie simplieilé, je Mi|>j)()seiiii même que / = — i est le seul poini 
siiij;tilier de ?■(/), mais colle reslrielioii n'a rien d'essenliel. (>ii()i qu'il en soil, 
je pifiids 

«„ — a(/i), 

el je vais éhidier l.i l'onelion /(;) eorrespondanle. 

l.a mélhode tic sommation di-s séries diverycnles exposée pai- ^î. Horel coiiduil 
à la lornuile suivunle 

"- 

OÙ 



\an)=^ 



L,,ai' ni' 



Celle formule esl valable pour loules les valeurs de n dont la partie réelle esl 
supérieure à — i, en toul cas dans une région qui eontienl l'axe réel positif du 
plan n. ( hianl à a. c'est un paramèlre positif. 

l'osons 



\\ vient 





/{z) = ^ e-^o{a,z)rla. 



cl tout revienl à discuter celle solution formelle. 
On a 

(\ désignant un conlour fermé c|ui contient à son inléiieur l'origine et les points 
singuliers de a ( — )• D'où 

o{z,a) — —^-l —a — — • 

' iiT.Jjc \x J i— se"* 

La coupure se déduit du conlour C parla formule 



t| il f.inl sMj)])Oser (|ue le point c e-it du même côte- (pie l'oiij^iiH^ par rapport à 
celle coupure. 

Plaçons-nous spécialement dans le cas où / = — i esl la seule sini;iilarité 



SLR LF.S SÉRIES DIVF.RGF.NTF.S ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 36 1 

de y.{t). Donnons à a une valeur posilive quelconque. Cela posé, choisissons le 

contour (l de la manière suivante : i" un cercle C| de rayon — ^ ayant ToriiTinc 

•la ^ 

pour centre; 2" un cercle égal C2 ayant le point — i pour centre; 3" une por- 
tion L de l'axe réel pour relier les deux cercles. Le contour C est ainsi une sorte 
de double lacet. Quant à A, c'est une fonction de a toujours positive et tendant 
vers zéro quand a augmente indéfiniment. 

Désignons par 0(V/) le maximum du module de la «piantilé — a ( - ) (piand jr 

décrit C Cette fonction 0(«) est bien déterminée dès cpion a choisi "/.. 

A partir d'un point d'abscisse inférieure à i, mais aussi voisine de 1 qu'on 
veut, traçons deux demi-droites symétriques par rapport à l'axe réel positif et 
faisant avec celui-ci un angle to aussi petit qu'il plaira. Soit T la région du plan 
qui contient l'origine par rapport à l'angle que forment ces deux droites, angle 
dont l'axe réel positif est la bissectiice intérieure. Nous supposerons (uie r reste 
dans T. 

J^a coupure a pour équation 

L'argument correspondant à un point de cette coupure a pour \aleur o sur I. 

et ^-sin» sur C| et Co, cp étant l'argument de x. La coupure elle-même se 

conq)ose de deux petites courbes fermées entourant l'une le point ; :i= i et raiilrc 
le point r: = e", reliées par un morceau de l'axe réel positif. Ou peut toujours 
suj)poser À assez petit pour que, (|uelle que soit la valeur positive ou nulle ile n, 
toute cette coupuie soit intérieure à l'angle considéré plus haut. Je supposerai 
même A tellement choisi que l'on ail 

r étant dans T et x sur (], et désignant une c()uslaut<' po>ili\e. Cela est ésidem- 
meut |)Ossible, comme on le voit en suivant le point zc"' (piand x décrit C. 
Dans ces conditions, ou a 

\o{z,a)\<^e{a), 
M désignant une certaine con^^liiulc. . t /o/s. />f>i// \it i/m- l' inir:: ntli' 

e-" 0{a)(ia 

• 

iiit un sc/is, /{:■) es/ /lo/o/tioz/i/n' <•// fonf /loint </it />/fin, S(ti///><'n(-('//,poiir z 
/■('('/ (■/ plus ^ rand ijdc \ . 

/■tic. ,/v /.. -•• s., II. '(; 



362 



r.. II". r.oY, 



Pour .i|)[)li(|ii('r co llit'oirnu*, loiil rcNiciil à voir dans cliiKinc cas (juc l'on peut 
clioisii- la loiulion '/-(a) I assiijt'llic sculcincnl à cire posilive cl à Icndrc vers zéro 

avec — )> (le façon (luc rinlc"rale 

» 

ail un sens. On véiilicra, par exemple, (|iic cela csl possible si 



JXons paivenons à éludicr ainsi une (onclion <pii écliappail aux niélliodes 
des n"^ ,\\ cl 3t2. II \a de soi, d ailleurs, (juunc fois ce cas IraiU' il devienl pos- 
sible lie Irailcr coniine au n" 32 le cas où 



u-. „ — i, '■'m 

(i„ \érilianl les condilions requises pour l'applicalion du liiéorèinc du n" î^l. 

35. Rendons-nous compte mainlenanl du degré de généralité obtenu. 

Pour cela, remarquons d'abord que, si y.„ est une fonction entière de /?, le con- 
lour (1 du numéro précédent se réduit au cercle C| décrit de l'orij^inc comme 
centre. On a alors 

0(rt) = Max. de ^e'"?a(^6"r 
lorsque 'z. varie de o à a-. Cela élanl, il est bien clair c|uc l'inlégrale 

e~" 0{a) da 



£ 



aura un sens, pourvu f|ue, si Ton pose n=oe"'\ la (pianlilé — — -^ tende vers 

y.évQ (ou du jnoins ait zéro comme limite su[)éricure) lorsipie o augmente indéli- 
nimcnl, lo étant (pielconquc. 

Supposons maintenant (pic a„, liolomorj)lic jiour p >> Zq et | (o | <^(0o, po el <.<)„ 

élanl deux nombres j>osilirs (pielconques, soil Ici (juc la (piaulilé — '■ — — ail /,('ro 

j)our liniilt,' >up<'iieure (piand p dexieul infini, (>) reslaul nioiudic (pie (o,, en valeur 
ab-oliic. On pourra loujours concevoir une fonction entière ^'(fi) qui présenle 
les caractères iiidi(jut's à laliiu'a précédcnl (;l (|ui soit lelle, en outre, (juc le 
(piolicnt 



SUR LES SKIUES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 3G3 

remplisse les coiidilions voulues pour l'application des lliéorènies exposés 
aux n"* 31 et 33. Cela résulte de ce fait qu'il existe des fonctions entières dé- 
pourvues de zéro de n' importe quel type de croissance. En réunissant alors tous 
les résultats obtenus j)Ius haut, nous pouvons formuler la conclusion suivante : 

La fonction N a,^;" est holonwrphe dans tout le plan, sauf peut-être pour z 



réel et plus grand que i, si, en posant n = oe'"', le coefficient général y.,i est 
une fonction analytique de n holomorplie pour z ^ po <^'^ i ''^ i < ''^o (,'o ''^ ''^u 

étant deux nombres positifs quelconcjiues) et si la quantité — — -^ a pour 

limite supérieure zéro quand o devient infini, lo restant moindre que (.>„ en 
valeur absolue. 

J'espère que ces brèves indications paraîtront suffisantes pour laire entrevoir 
le degré de généralité que possèdent les méthodes de prolongement étudiées dans 
ce Chapitre. Au suiplus, je me propose de revenir prochainement sur cette ques- 
tion. Pour le moment, je cherche surtout des exemples simples. Mais il inqtorlail 
cependant de marcpier les frontières du domaine où s'applique notre méthode. 

36. Pour finir, je citerai un théorème où intervient le rapport "^' et qui ra|)- 
proche la présente théorie de celle de la convergence des séries. 

Mais je dois établir d'abord, à titre de lemme, au moins dans un cas jiarli- 
culier, une proposition qui d'ailleurs est intéressante par elle-même et sur laquelle 
nous reviendrons plus loin pour l'étudier en général. 

Soit 

90 

f{z)^^cc„z.\ 



avec 

•/o 
et 

f \<?{.r)\dx<M, 

M désignant une conslaulc positive. Ou a 

f{z)=f\i.v)-^'-. 
I I — zx 

«- 

lmai;in()iis un p(>lil cortle de ravon o dét ril de :; =: i comm(^ ccnlrc. deux l.iii- 
gculcs à ce cercle s\ mc-liicpics par ra|)p(irl à l'iixe k-cI cl se rentt»nlr;Mil >.Mr 
celui-ci cnlic les poinis o cl i, culin la it'giou \ du pian >ilu<c du uicuic i("i(c 



3t;/» 



r.. i.F. r>0Y 



i|iii' roiij^iiic |>iii' r,i|)jnul à raii:;l(' (^;his>i aii;ii (jiic I on veut, si u csl assez pclit) 
lliiiili' pai- les (|(>ii\ laii^fiiles picccdeiiU's (|iic l'on anèlc à Iciii' |)i)iiil de coucoiirs. 
laiil (|iir le |K»iiil ^ csl clans T, le point z X \ csl aussi el l'on a, par eonsc'(|nenl. 



D'où 



I 


I 

< - 




1 — zx 


l/(=)l<^ 



inéi^alilc- ipii \a jouer un rôle londanienlal. 
lV)son> 



/•,,(.) =^af-", 



ji désignanl un cnlier j^osilif. Il vicnl 

■ '.'.' / ; / . 

/ / / , , , .s "-^ I «-^ •' • • • (Il I) 

/„( = ,= / .../ .(.,.,)o(x.).. .?(..,.) , j^^;,.^^;^ , 

le nombre des sij^nes inlégraux superposés élanL égal à p. Lors(|ue le point z csl 
dans T, le point zx^x-i- . .Xj, y csl aussi. D'où 

M/' 

1/.(^)I<X- 

Considérons alors une fonclion entière (|ucleonque G(/) el la série 

V{z)=y^(\{y.„)z". 



Si l'on a 



il vient 



et l'on voit (pie F(3) est une fonction li()li)nu)rplu> dan^ 1\ |)Ourvu (pic la série 
suil eonver-entc. Celle dernière condilion csl d'ailleurs remplie si ("■(/; Csl une 



suK i,i:s sKKir.s i)ivi:ugi:.nti:s i:t i.ks i onctions dkiinif.s, rrc. 3G5 

fonclion entière. INJais il siiffil que Cj(f) soil liolomorphc clans un cercle de ra\oii 
supérieur à M. 

Lorsque G(/) a un rayon de convergence inférieur ou égal à .M, on peul poseï- 



a élanl un paramèlre. Le ihéorème précédent s'applique pour les petites valeurs 
de a. Tout revient alors à efrecluer le prolongement de ¥(a^z) regardée comme 
fonction de «. Divers artifices le permettent souvent. On devra finalement faire 
c/ = I . 

Quoi qu'il en soit, je me bornerai à lénoncé suivant : 



Si c/.,i est de la forme 



cn^ec 



la série 



y.„ = / o{x)x"- dx, 
f \o{x)\dx<M, 



est holomorplie dans tout le plan, sauf peut-être pour z réel et plus giitnd 
que \, pour^m que la fonction G{t) soit holomorplie elle-même dans un cercle 
de rayon supérieur à .^L 

Pi'cnons, par exemple, 

i.3.5...(2« — i) I /' x' dx 



kl 



2.4.6. ..2« r.J^ s/x{i-x) 

Ici INl :^ I . On peut donc prendre pour (\{'j.„ l'une dos expressions t'"'. sinx,,, 



cosa„, L( I -+- -^" ) 



37. delà posé, soit 

X, 



^ad /il' 



une loniiion de holomorplie dés (lue le module de // dt'-na^sc nue eeii.iine va- 
// ' ' ' 

leur. Si l'on a 



«7.-1 



la si' 



r.. i.F. noY. 



V 



,\ I iiniU' poiii' r.ivoii (le ('<ni\ (Mi;onco. 

l^l■^OI1S 

Lx,,- /(//), \.rt„ — o{/i). 

/("-^- •)-/(«) = ?(/'). 
el jioiis sommes ramenés à ealeiiler V inlrgidlc Jinie de '-^{n). Or 

1 
à cniisc (les |>roprii''lës Meii connues de la fonction logarithmique. La quantité 

o{n) — p.,\Ai-\-j\ = o^{n) 

est développablo suivant les puissances de —, l'exposant le plus petit étant ('gai 
à >.. l*osons alors 

On a 

Mais il existe (n" 12) une fonction ^(^x) telle que 



Essayons de prendre 
Il viendra 

c'est-à-diro 



9i(n) = / <I»(^)j;"-' d.v. 
f^{n)— f F(.r)x"-'r/^. 

i V {x) jc" djc — t V\x)x"-Wlx ~ f *\>{x)x'>-^ dx, 
•^0 «-^0 «^0 



F(^) = 



*(.2-) 



Or ( n" 12) 'I*(-c) s'annule pour j' ^^ i, puis(|ue '^\{n) commence par un terme 
en ,• Uonc l'intégrale 

J, ^ — 1 



SIR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉEINIES, ETC. SGj 

a un sens, ei nous avons bien ainsi une solution de noire équation aux dilIV-iences 
finies. 
Soit 



/( /O = p., L /« 4- f --^-^ .V" -'(U-t- LC, 



C désignant une constante laissée arbitraire jiour le moment. Cette formule est 
vraie pour toutes les valeurs de n qui surpassent une certaine limite /?o- 
On conclut de là 

La constante C est déterminée de fa(;on que le premier des coefficients y.,, que 
l'on peut mettre sous cette forme ail bien la valeur voulue. 
On sait étudier la série 



Utilisons d'aulre part le théorème du numéro précédent. On a le résultat que 
voici : 



Si le rapporl ■ """^' - de deux coefficients consécutifs dans la série > a„3" est 



développable en une série de la forme 

^ ni' 
1 

convergente dès que le module de n est assez grand, la fonction anal) tique 
définie par la série considérée est holomorphe en tout point du plan, sauf' 
peut-être pour z réel et plus grand ijuc i . 

J'ajoute que, d'une façon g(''nérale, on peut, dans ce cas, faiie lélude coinplt'ic 

de Va,,--:". 



On pourrait étendre ce ihéorènie au cas où — ^- est dévclop|Kibl(' suivant îles 

puissances Iraclionnaircs de — : la démonstration serait loule semblable. 
' ti 

l'^ilin, cl je terminerai sur celle remarque, les mêmes |>rocédés réussisscnl 

encore si la ddlViciice 

peut élre mise sous la loiine 

^ 9 (.r).r" ././•, 



la fonction ^ reslarU Unie ( ou du moins iiil/^i iiblc"» noui- x ■— i 

f — I » r> 1 



3()8 !••.. ir. \\()\. 

I>S. Imi IcnniiKiiil iV ( .liiijtilrc, je tirns ;"i i;i|)|)<'l('i' le liiil (iiic |"\ j)()iir.siii\ ais cl 
le \ Il I laMi- caraclrrc des llu'oi'èmos (|ii(' |'v ai (l(''iii()iil rrs. 

J'ai proposé une nuHliotlc j>i(iti(/ii(' pour élutlicr dans lonl lo plan une fonc- 
liiMi (lonnt'e par une série de l'avlor cl j'iii moiilrc' sur (piel(|ues r.rr/np/es le parli 
i|ii on puiisail tirci' de celle mclliodc. 

li (•-I Ineii clair (pie le noniln-c îles applicalions j)ossil)ies est iiidni, (piil v a 
encore hcaucoup à trouver clans la nicmc voie cl (pie rex|)ériencc esl seule 
capable d'indiquer (piels sonl les c/ilcres de prolongcdlnliié ipril y a le plus 
d'avantages à élahlir. 



V. — (li'AruM, 



IS\TIO.\S 1)1 VF.USKS. 



150. Les résull.il> préci'dcnls peuxeni èlre généralis(''s d'un 1res grand nonil)re 
de manières que y. ne puis songer à cnumércr ici. Je nie bornerai à iiidi(jiier 
deux ou Irois ihéorènies simples. 

Soit tine série 

/(c)=Va„3", 

pour laquelle on a 

a„ := l o{x)x" dx. 

Nous avons vu que la fonclion (binnéc par celle série est représenlable dans 
tout le plan par une certaine intégrale définie. 

Cela posé, je dis (ju'o/i en peut déduire une infinité il' au très fonctions ijui 
présentent le même caractère. Voici quelques exemples : 

On a 

A""3;„=/ o{.r){x — i)"dx={—i)"l o{\ ~y)y"dy. 

Donc la série 7 z-"l'"^y.(, esl, elle aussi, éludiable dans loul le |)lan. I^lle se 

dc'diiil d'ailleurs de la série donnée par la (rdiisformalion (T l'Jiilcr. Sa somme 

esl -J— /•( -^_). 

Soil X„(.r) un polvnomc de Legcndrc. Désignons par \„[('a)] re (pie devieni 
\„( x) quand on y remplace en général xi' par y.p. On a 

^n[{y.)]=f 0{x)\„{x)dx. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. ^Gç) 

13'où 



^X„[(«)]:."= /^ ?(^)-^^ 



dx 



La coupure est ici la moitié du cercle de rajon i correspondant aux valeurs 
de z dont la partie réelle est positive. 

Rien n'empêcherait, dans ce dernier exemple, de substituer aux polvnomcs de 
Legendre d'autres fonctions analogues, pourvu que l'on connaisse également la 
fonction génératrice de celles-ci. On peut prendre, par exemple, les puissances 
successives d'un polynôme quelconque. Si donc y.„ est de la forme supposée, il 
existe des suites de nombres à,,, „ dépendant de n tels qu'en posant 

(3„ = ).„,„ 3Co + >.,,„ a, + . . . -4- /.v,„ y-., 
V désignant un entier fonction de «, la série ^^[j,tZ" soit étudiabic dan^ tout le 



plan. 

On peut même envisager des fonctions entières au lieu de polvnomes. Ainsi 

^, = cos[{ y) On] =2^^- >-^^^ =J o{jo)cos{n9a-)cU: 



D'où 



ÏP..'=f\^-^ K--::XîL' ''- 



La coupure va sur le cercle de rayon i du point z = c~''^ au point z =z c"^''' en 
passant par le point ;; = i . 

On conçoit sans peine (\ue ces [)rocédés de généralisation puissent èlre variés 
à l'infini; on obtient de la sorte des coupures de formes quelconques. 

Je citerai, pour finir, un autre type de méthode. Soit A,, une constanle. Vppe- 
lons a^/" la y?"'"" dérivée de y.„ par raj>port à /i. Il vient 

^=2:^«r=/;(.)i:<^(Li)"„..-/... 

" 

et, ponivii (pic l'on ail par cvcmplr 

X (lésign;iiit une ((Mliime conslanle posilive, on noiI ipic la série ^ ,J// "•" «'"^l «'(u- 



(lial)lo dans tout le |>lan. 

fac. lie T., J* S., II. \n 



>7" 1'. Il" noY, 

tO. Pour aller plus loin, j<> pourrais n)'aj)|)uvcr sur un lliéorrnir Irrs rcruar- 
(|ual)lo (lu à M. Iladaniard (^'). 

D'aprrs cc ihcorcnic, la sci'ic ^(/„ (>„ z" ne peul avoir, (/(/ns toid le plan, 



«l'autros points sini,Miliers cpie çon\ {\nv Ton ohticnl on nmlti|)liatil raf(i\<; d'un 
|H)inl singulier de > ((„'■" |>i'i' I aflixe d'un poinl singulier de \_^h„z". 

II 

On peut utiliser oireeiivcmcnl ce lliéorènic, dès (ju'on a formé nn tableau de 
séries j)arti('iilièi-es dont les points singuliers sont connus : or c'csl ce que nous 
permet de faire la méthode exposée au Chapitre précédent. 

Mais je préfère développer quelques considérations directes qui ne supposent 
|>as démontré le théorème de iNI, Iladamard. 

Considérons la série 



et supposons que l'on ait 



f{z) = "^a„z" 



CC„ = On b 



Il — '■'H ^n 



avec 



a„ = I 9( j")x" djr. 

'■ 

Soit 

oc 


vne fonction dont on sache effectuer le prolongement dans tout le plan et déler 
miner les j)oinls singuliers. Il viendra 



•^ n 



ti (.z) F(-:>r) dx, 



et les principes exposés au Chapitre 111 permettront de faire l'élude complète 
dc/(.). 

•l'ai déjà signalé une application relative au cas où |A^"'^^„|'' tend vers zéro 

I 
avec - • 
n 

On en aurait une autre en prenant l>„ tel (pie F(^) vérifie une équation diffé- 
rentielle linéaire. (Test ce qui arrive en jiarticulier s'il existe, entre un certain 
nombre fixe de coefficients O^i consécutifs, une relation récurrente linéaire dont 



(') Acta innthcmalic/i. t. Wll 



•' '''fi^)Hy)^^^^^ 



SLR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 3-1 

les coefficients soient des polynômes en n\ F(^) satisfait alors à une équation 
différentielle linéaire dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes en / ( ' ). 

Si F(/) est méromorphe dans tout le plan, on peut l'étudier en suivant la 
marche exposée par M. IJadamard dans la seconde partie de sa Thèse et le pro- 
longement àefi^z) est encore possible. 

Un cas particulier intéressant est celui où b„ est le coefficient général d'une 
série récurrente. On a alors 

f{z)=( <o{œ)\\{zx)dj:, 

R désignant une fraction rationnelle. 
Si l'on a 

•^ 

on peut écrire 

Plus généralement, on voit que, si les séries 

^a,.z", ^b,,z", ..., ^/„c" 



sont étudiables par les procédés du Chapitre précédent, il en sera de numc de la 
série 

00 



où P désigne un polynôme : la démonstration se fait aisénuMil df proclu^ <u 
proche. 

Supposons, par exemple, que le ra|)porl — ^^^ soil une iVaolit^ii lalioii- 

nelle yr — -• Posons 
( f ) 

P(/«)=:(// 4-r/,) (/i -h«,). . .(/i -t- a,,), 
Q{n) = {n -h hi){/t -h 0,). . .{n -h b,,). 

Alors le rayon de convergence est égal à l'unitt- cl l'on a 

_ P(o)P(i)...P(/<-i) 
^"-^»Q(o)Q(.)...Q(«-.)- 

(') Il huit cv i(ii'inmeii( ([uo li- |)(.iiit / — o iif ^nil pas un pniiit <ini,'uiior lit" rt'(|ii.tlion ilil- 
foroiUicllo. 



[]j2 K. Li: r»()Y. 

Il faul aJinollrc évidcmmcnl qu'aucune des (juanlllés a ou b n'esl nulle ou 
entière et né<;(iti\e. Si celle condilion csl rcmj)lie, on voit que y.„ esl (au fac- 
leiir a„ près") le proiluil de •.>,// lernies donl les (/ |)reniieis soul de la (orme 

_ a,,{a,,-+-i).. .{o,,-h n — i) 
^''•" - n ! 

el les Y (.lerniers de la lornie 

ni 



b,,{bp-hi)...{ù,,-h n — i) 
Or 



I) aulre pari 
;i la partie réelle de bp esl positive. Alors la série 



n'a pas d'autres points singuliers que ^ = i el ^ = oc. Celle conclusion subsisle 
d'ailleurs si la partie réelle de bp eslnégalivc (pourvu que bp ne soil pas un entier 
négatif), comme on le constate en éludianl la série 



^F;>, 



// étant un entier positif convenablenienl choisi. Donc, dans tous les cas, on 
sait étudier 7 y„^" '■ b's seuls points singuliers de cette série sont ; = i 

et z =■ X. Un grand nombre de séries usuelles rentrent dans ce type auquel 
appartient notamment la série hjpergéomélriquc. 

Remarquons que, si les parties réelles des «y, sont toutes comprises entre oel 1, 
on peut écrire 



_ sin(7:«p) 

'■ n ri -^ 






SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 378 

Si alors les parties réelles des bp sont toutes positives, il vient 

n 
JJsin(7ia,,) 

/(-) = «0+ «0= -^ ~i 

/' 7 7 

en posant 

ce 



J'ajoute que R est une fraction rationnelle. 
il. Revenons à la série 



P désignant un poljnome, et cherchons à remplacer le polynôme l'(x,;) par une 
fonction entière G(a,/). Je me bornerai à l'examen d'un cas simple. 
Soit 



'vec 



<„ = ( rt + I )'/ / çp ( x)x'^ dx 
i \^{x)\dx<\\. 



q désignant un nombre positif quelconque. 

Appelons/; un entier positif cl posons, en général, 

Nous allons chercher une limite supérieure de |.//.(v)| ipiand :; reste dans un 
certain domaine T, 

Cle domaine sera défini de la façon suivante : Prenons sur l'axe ré'el positif du 
plan z un point appartenant au segment (o, 1) et aussi voisin du point i tpic 
nous voudrons. Ce point étant choisi, traçons deux demi-droites formant un 
angle qui admette le point considéré comnu' sommet et Taxe rt'el positif i'(unmc 
bissectrice int(''rieure. Le domaine X eonliendr.i . j>ar Inpothèse, Iimis les points 
situés du même coté (pie roiii;ine par rapport à cet angle. Soit la di-lantc du 



|)oinl 1 aux cùU's de l'angle. J imai^iru- le cercle (î de ccnlre i el de rayon o et 
j'appelle O un cercle concentrique de rajon plus petit e. La quantité o peut être 
prise aussi petite que l'on veut, mais elle restera fixe, de même que s. 
(îela posé, on a 

chacune des/; intégrations étant relative à rinlervallc (o, i). Posons en général, 
a étant positif, 

>](,^4-l)«r'=:U,(0. 



Il viendra 

|^(..)|<MMIa\.<le|li,,,(c.r,.r,....r,01. 

Or, tant que le point z reste dans le domaine T, le point zx^ x^. . .Xp y reste 
aussi, puisque les x varient seulement de o à i. Tout revient donc à calculer en 

général la quantité 

MaN.de|Ra(Ol, 
(|uand / reste dans T. 
On a 

le chemin d'intégration étant composé : i" de l'axe réel négatif depuis — oc jus- 
qu'à une valeur négative quelconcpie — a; a" d'un cercle décrit de O comme 
centre avec a pour rayon ; 3" de l'axe réel négatif depuis — a jusqu'à — oc. D'où 

''='^'^- lin J^^^i-tex y^-^^ 

Cette formule représente Ra(0 dans tout le plan, sauf une coupure qui cor- 
respond au contour d'intégration par l'égalité 



On voit que celte coupure est constituée par un lacet partant du point -j-oc, 
longeant l'axe réel, tournant autour de / = i et retournant à H- ce le long de l'axe 
réel. Je puis toujours suj)poserque le contour L es! choisi de façon que la boucle 
du lacet qui lui correspond circule autour âe t = i entre le cercle C de rayon s 
défini plus haut el un cercle concentrique intérieur C" de ravon s' également 
fixe. 

Cela étant . ou a 

\e-y- t\>o — c^ 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 87: 

quels que soient t dans T el y sur L. D'où 



,„ , ,, r(a + i) I [ C' dv r \ dv 11 



c'est-à-dire 
Par suite, 



B>(0!<^{f^(^-. 



l/'.( = )l<^(^(^)"r(''v + ■)(.-. ^> 



et cette formule est valable quel que soit z dans T. 
Dans ces conditions, la série 


définira une fonction de z holomorphe dans T, pourvu que le produit 

lpT{pr/ + 1) 

soit le coefficient général d'une fonction entière. 
Supposons Ap ainsi choisi. Soit 


La série 



définira une fonction de z holomorphe dans T. Comme les demi-droites qiii 
limitent T peuvent former un angle aussi aigu que Ton veut, on voit qu'en défi- 
nitivcy(3) est holomorphe dans tout le plan sauf peut-être sur une coupure rec- 
liligne allant de :; = i À z = x le long de l'axe réel positif. 

On peut prendre pour (i une fonction entière d ordie inférieur à -• Si ^/ =: o, 

on peut |)rciidre pour G une fonction enlière quelconque, car alors i.//.(,^^| reste 

. f. . , M/' , • r 

intérieur a - ^ , comme 011 le voil clireclcmenl. 



IU;inar(pions que la méthode précédente permet ilassigner à |y\3)| "ne limite 
supérieure indépcMidantc de z et valable pour tout le ilomaine infini T. Nous ver- 
rons plus loin l'importance de cette remarque. C'est surtout à cause d'elle que 
j'ai développé les calculs précédents. M. Leau (^M,(pii a traité uih> (pu>lion loule 

(') Journal lit' Mallu-initliuma : iS()<). 



376 



K. I.r. UOY. 



.>.c'inblahk' c\ (|iii a inèinc pousse la discussion un peu [)lus loin, n'élal)lil pas ccUe 
conclusion. 

l'our donner 11 M cxeinpie, je pailiiiii de la loi inide 






{n + x) 



Déri\ons j)ar rapport à f) et faisons ensuite /? = — i + O; 1^ étant un nombre 
posilit (pieiconcpie. Il \ienl 



L(/< -+-!) = (, 






r(v 



.r " djr . 



Ici Ion a «y = y,. Si donc G désigne une fonction entière d'ordre fini, la série 

V 

est étudiablc par notre méthode. 
On déduit de là 



< 



7r(ô — £) \e''i/ V p-K 




lanl que z reste dans T. Soit alors, par exemple, 



(Jn pourra faire, à partir de ce coefficient a„, des constructions analogues à 
celles (pic nous avons faites plus haut. On obtiendra des conclusions semblables 
et l'on voit ainsi comment la méthode exposée peut être généralisée à l'infini. 

Mais je n'insisterai pas da\anlage, et je passe à un autre ordre d'idées. 

iti. Il est évident ipriine combinaison linéaire quelconque de séries étudiables 
par les méthodes du Chapitre précédent est encore étudiablc par les mêmes mé- 
thodes. 

Si l'on peut écrire 

«„ — a,, -+- fj,„ 

la série V'^/,^ r" él.inl (luijiablc par nos procédés et la série 7 />„c"ayaiil unravon 



Si:U LKS SKIUKS DIVKP.GKN TKS ET LKS lO.NCTIONS DLFIMF.S, ETC. 3^7 

de convergence supérieur à celui de la première, le prolongenienl analytique de la 
série 7^ a„ r" peut être efTectué jusqu'au cercle de convergence de ^/^„;". Ln 



cas j)arliculior iiiléressanl est celui où celle dernière série dédnil une loncliou 
entière : lélude de la série donnée peut alors être faite dans tout le plan. 

De pareilles décompositions d'une série entière en une somme de plusieurs 
antres séries de même es|)èce peuvent être variées à l'infini, suivant les besoins tlii 
calcul. J'indiquerai uu dernier exemple, relatif au cas où a„ est une fonction 
de // analogue à la fonction 'Ç{s) de Riemann. Des séries d'exponentielles, telles 
que celles que M. Calien (') a envisagées dans sa Thèse ou même |)lus générales, 
vont jouer ici le rôle essentiel. L'expérience montre (pie ce cas, très fréquem- 
ment réalisé dans la pratique, est celui de la plupart des fonctions usuelles (pu 
possèdent j)lusieurs points singuliers. 

Soit 




1 = » 

nzzO 

00 



avec 



l'osons 



Il vient 



cl, si les fonctions 'yp sont étudiaMes par les méthodes indupiées plus haut, il tu 
est de même de 'j. Quant aux conditions de convergence reipiises, elles sont 
aisées à déterminer dans chaque cas. 
On a, par exemple, pour | c | <[ i , 

Lr(i-c) = (:--H iç(2)c=-h...4--^^;(//)-" H.... 

C désignant la constante d'Iùilcr cl v(^.v) la louclion de Kicmann. Or 

.1 
-z=z I .1"-'././-. 



(') Annali's de ('/.'co/r \iuin<i/f sii/'rrù'itic ; iSyi. 

/■(te. lie T.. " S.. II. 48 



)7^^ I-- II". IlOY. 



\A{\ — z) — {.z + z'^ \ 



Oii a iiiiiNi l\'\lensi()ii de I, r(i — z) à loiil le plan. 

<^ii \i'il |i,ir là ((inimciil, inal^rt'- les a|)|)ai-ciic('S, les llirorriucs du ( !lia|»il ic I \^ 
peuvent sci\ ir à rt'iudc do loiichons doul l,i di■^|^ij)uli()ll des points .sini;uli('rs 
r>t (piclionijue. 

13. Je tcrnilncrai par doux r('niar(|ues. 

.\\ant (II- liansl'onner une série en une inté-^rale, il pcul être bon de la iniilli- 
plier par un facteur connu dans tout le plan. Soil, j)ar exemple, 

/(c)=V(L//!).". 



On a 

{^-zyf^z)='^\J^+^\z'^-^^, 



^'^'^v^f'^ 



I dx 



expression 1res simple (|ni ti()nney"(3) dans tout le plan. 

Enlin, a\anl de niellre nne série sous forme d'inléi;rale, il peut être bon aussi 
• reirecluer préalablement une représentation conforme suivant les |)rocédés 
étudiés par M. Lindelof ('). On a alors, par exemple, 









'!>(:;) désignant uik- fonclioii lioloin()r|)lie autour de roriii;ine et qui s.inniilc en 
ce point, et l'on peut obtenir ainsi des coupures de forme f[uele<)iK|ue. 



\ I. — I. 



r. i'i;oi;i.i,\ii; ni.s MO\ii:.\TS. 



il. In beii existe entre les nniliodcs cpic nous venons di'iiidier cl le fno- 
hlcinc (les nionicnls, posé par Stidip's dans son i;ian(l Mémoire sur le- liaclions 
continues (-). 



(') Acta Sdfictiitis frnnica- ; i8tj8. 

(') Annales de la l'arullé des Sciences de Toulouse; 1 894-1^9 '»• 



sLii i.F.s SKiUEs i)ivi:i;gi:>"ti:s i.ï m.s fonctions définies, ktc. S-ç) 

lùaiil donnée une suilc dénombrable de (jiianlilés 

3!(), 2^1, ^2' •■•> ^/M •••» 

peul-on conslriiire une fonclion 'f (j^) inlégrable dans l'inlervalle (o, H-x) telle 
que l'on ait 

a„ = / o(j7) J7" dx, 

pour loules les valeiiis entières el positives de «? Tel est-1'énoncé général du pro- 
blème des niomenls. Nous allons examiner le rapport qui unit ce jiroblème à 
ceux cjue nous a\otis déjà résolus. 

Deux questions se posent. Il faut d'abord déterminer '^ à partir des a„. Mais, 
comme Slieltjes le (ail remarquer, cette détermination n'est pas possible (ï une 
façon unique. En clTet, la théorie des intégrales eulériennes montre que l'on a, 
par exemple, 

e" v ' sUï y.r a;" dx =z o, 






(piel (pie soit l'entier positif"//. Si donc les a„ sont tels qu////^' solution existe. 
il y en aura une infinité et il importera de cbercher un jirincipe qui permette de 
("aire un choix parmi ces diverses solutions. 

Les considérations que je veux développer à cet égard dépendent des propriétés 
d'une certaine classe fort intéressante de poKnomes entiers en ./• dont je \ais ra|)- 
|)eler la déHnition. On verra que ces polynômes se rapprochent, par l'ensemble 
de leurs propriétés, de polynômes bien connus, tels que les polvnomes de 
Legendrc, les polvnomes hypergéomélriques ou les polvnomes de M. Ilermite. 

Nous serons incidemment amenés, dans les pages qui suixeni. à montier eoni- 
menl on peut souvent utiliser, pour la représentation analytique des lonclions 
données par une série de Taylor, des intégrales dédnies prises entre les limites u 
el 4- X. 

45. Soit 

On a, par la formule de Leibniz sur la déiivalion d Un prodiiil. 

])„ = (-i)''6-^P„(.r), 
V„ (h'signanl \\u poKnome entier en x de de^rc // . 

1 I . i I . Ci . 3 



38o 



r.. i.r. no Y. 



ToLs sont les polynômes (|iic je vais éliulicr. 

Des iiiléj;ralioiis par parties eoiidiiiscnl aisémeiil à la iclalioii 

où 0(.î) e>l 1111 poKiionu' arhiliaiie de de^ié // — i au plus. ()ii eu drduil 
(0 (" c-'V„{.v)\\,{.r)ci.r = o si />^f/, 

ee i|ui donne, en |)arhenliei', 

t'~'" Vn ( ^i' ) du- rr o ï5 i n -i. 



f 



car 1*0 = •• 

Je dis que la lelalion 



f e-^l\,{.r)e{jr)djc:=o. 



où 0(.?) csl un polvnomc arbitraire de degré n — i , caraclé/ise le polynôme l\,(x) 
à un multi|)liealcnr conslanL près. Soil, en efTel, Q«(x) un second jiolvnome de 
degré n tel «pie 

/ e--*' 0„(a') 5(x) (^a- = o. 

Appelons C une constante quclcoiupie. 11 viendra 

/ e-^[P„{x) - CQ„{a:)]6{a-) dx zsz o. 

Or, prenons C de laeon (pie V„{x) — CQrt(^) soit de degré n — i et posons 

alors 

6(a-) = P„(,r)-CQ„(,r). 
On tle\ rail avoir 



X 



e—[V„{j^) - CA^)n{-z-)y d.r = o. 



iJonc 



('ela posé, revenons aux polynômes V„ ('). 



(.. (J. K. I». 



(') Ces polynômes P„ peuvent être gt'ncraliscs de bien des façons, par exemple en coiisi- 
driitnt 1rs qiiantitt'S 

n «' = 



d" ( à \ 
-, — \e--^ X"), 



nii a dcsi;,Mi(' un nombre positif qiiclcon((ue. On peut ainsi oblcnii-, an sujet du pi(il)lcmc 
(l.> rnumenls, <lcs résultats plus généraux que ceux de ce (^bapilre. Mais, pour abréger, je 
m<; limiieiai au cas sim|)le où a — i. 



SLU Li:s sÉruES divi-rckntf.s i:t les fonctions définies, etc. 38 1 

On a aussi 
(2) f e-^V;,{,r)cU=z i c^ V„{x)a" do: = {nly\ 

coinine le monirc encore rinlé<;rallon par parties; el l'on j)eul dc'duiie de là une 
idenlilé que vérifie la fonclion Y. 

r.a formule de Lagrange conduil au développenicnl 



(3) 






l)"où l'on lire la fonclion généralricc des (juanlilés P„, 

1 '•«(■'■)'"=/ '"T^c''"- 



en cniplojanl le procédé de sommation des séries divergentes indiqué |)ar 
M. Borel ('). Celle fonction génératrice est donnée par une série entière qui n'a 
pas de cercle de convergence; mais la série en question est sommablc cl l'on voit 
(pie sa somme (qui remplit d'ailleurs toutes les conditions voulues pour être pri>e 
comme Ibnclion génératrice des P„) est holomorplic en tout |)oinl du plan, sauf 
pour / réel et négatif. La partie négative de l'axe réel du plan [t) est une coupure 
apparente; en réalité, notre fonclion génératrice jx'ul èlie prolongée à travers 
celte pseudo-cou|)ure, mais elle n'est pas uniforme. Du reste, si on rap|)cll<' V[l^, 

les expressions 

_i_ d" P(0 
«T dl"- 

tendent bien vers les polynômes P„(.r), pourvu que t tende vers zéro en suivant 
un cliemin (pii ne rencontre pas la coupure. 
i*artons de l'éiialité 



Cl faisons la transformation d'Eulcr, 

l 






y 



\^L \—y 



( ')!';. IJouKi., Mrinoiif sur les si'rics divcn^cnlcs. Ill' l'.iilif. t l/nia/is </<• /'/■.'ro/,- 
\<ni)uilf sD/n'/ira/r : iSçn).) 



Il viciil 



•11 lio^.llil 



D'où 



.„/.r/'\ .r" n .r"-' 



(1) i'„(.i)="!i:(^ 

On (Ml (Ic'iliiil 

(ô) j-" = I»„ +-!>„_, H ^^ I'„_,+ 



fil \(iiii (les lonmilos hicn connues de la lliéone des dillercnccs. On \oil par 
là t|ii"iin |)()lMionie quelconque de degré rj en x peut toujours cire mis sous la 
loi me (riinc ((iiiihiiniiNnii liii(''aiic et homogène à coenieients constants des q pre- 
miers polynômes !'«, cl celte remarque s'élend même (sous certaines conditions 
de convergence) au cas d'une série entière en x. 
On a 



D'où 

\\{x) ^ V '„,,{x) ^ P; (.r) ^ 
n\ ( /i + I ) ! // ! 

en idenlilianl; ce qui donne 

(G) p:,„=(/t-hi)(r„-p;,). 



relation fpii nous sera utile plus loin. 
L'égalité 

conduit, par identification des deux membres, à la formule 

où Cf^ désigne le coefficient Ijinomial hien connu, «pii doit être legardé comme 
nul pour /)>>//. 

L'application de la roiiiiulc de Leihiii/. à la fonction x"c~' -- \ loiiiiiil mimé- 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES EONCTIONS DÉllNIES, T.VC. 38 '5 



(lialenicnt les relalions 

j^y = {n — x)\; 
d'où 

^V(«+-^)4-(/; + i)Vt"+') = (« — .r)V(«+') — (/i-Hi)V"", 

el, par suite, 

l'inalemeiU, on voit que P„ est uue inlégralc de réqualioii diiïerentielle 

(S) 






Ayant ainsi une intégrale de cette ('([uation, il est facile d'achever rinlégration 

et (le trouver la solution g«M)érale. Appelons Q„ une autre intégrale, distincte 

de \\,. On a 

,^ , /■" e-' 

(9) 



' ~ ;^-, 



comme on le \éri(ie aisément. On voit que (^«(x) est une l'onction non uniforme 
holomorphe en tout |)oint du plan (.r), sauf à l'origine : la partie positive de Taxe 
réel est une coupure apparente. Il est d'ailleurs facile de trouver la ("onction génc'- 
ratrice des 0„. C'est 






i\z — X 



f/c = — — y n\ 



•'\ — l\" 



La dernière série (dont ou connaît le lien avec le logarillime intégral ) est di\'cr 
génie, mais sommable an sens de M. Borel; Lagucrre a montré ipiil lui corres- 
pond une fraction continue convergente. 

Il existe une relalion réciiriente ciiti'o trois polvnomes V „ const-culils. 



(lo; 



P„^.,4- (2n -h I — .r)i*„-t- n-\\,. 



(^es poU nomes lormciit donc uue suite de Sliirm. ()ii en i'(»ntlul aiseinenl que 

r(''(piaiion 

l»„(.r) = o 

a toutes ses racines réelles, positives et distinctes. 

Si l'on désigne |)ar (! un contour fermé tpii entoure lOrigiiie du pl;in {l^ <"! ipii 
est MiKisamnienl itelil. il \ieiil 



(") 






iS'i i;, m: i;()y. 

|) ii'i, l'ii clKiiiiiCiiiil (I( viii'Kililc (riiilri;i;Ui()i), 






(T) él.iiil un iioiiNc.m coiiliMir Iciiiir. (.elle <l(Miiiri c expression csl celle (iiroii 
i)lilieiitli;ul en :i|>|)li(| luiii I l<i iiu'llioih de I,;i|)liiee à rc'cjiiîilion tlillV'iciitielK' (8). 
Liie;uilro ex|)ie>si»)ii île P„(^J") nous scia plus utile. Si Ton reniaicpic (mic la 
ronclion J„ de liessel esl donnée par le dévcloj)|)Cinenl 



JoCm//)=2 



r^ (— l)''li' 



on volt ipie 



Piy 



(_,)/'j./' 



(li'tle lornudc pourrait scixir à (Kliuii- les (|uaiilites \J,i pour toutes les valcuis 
de // léelles cm iniaj^inaires ; liiiterpolation des (juanliiés 1)„ est ainsi accomplie. 
De là pourrait encore se déduire une théorie de la (|iiaiillté I)„ rej^ardée eomnie 
lonclion de son indice. 

J'ai présenté, dans ce numéro, un tableau résumé des principales propriétés 
des polvnomes V,i(x). Non pasfpieje doive me serxir ici de toutes ces pro- 
|)riélés. iNIais je tenais à les raj)|)eler. |)aiec cpie je crois les polvnomes !*„ des- 
tinés à jouer un rôle important dans la résolution du problème des momenls et. 
jiar suite, dans la théorie des fonctions données par un développement taylorien. 

il). AriiNons maintenant au prohlcnic des momenls. Il consiste, comme on 
sait, à résoudre par iap|)ort à 'S> les égalités 






.r)x" d.r. 



|»our toutes les \alcurs entières et positives de ii . Je vais en donner une solution 
bien déteinnnée dans un cas assez étendu. Mai>^ (|uel(|iies lemmes sont dabord 
nécessaires. 
Soit une série 



^IJK 



les ).„ désij^iiiinl des constantes. Si x est positif, la loiniule {\:>) d< nue 



SUR ij::s si:r,ii:s divekgentes et les eoncïions uéeimes, etc. 'j8) 

Noire série csl donc absolument et uniformément convergente pourx^o sous 
la seule condition que, si l'on pose 

'•Il " • O II J 

la série 



soil elle-même convergente. On a alors 



on posant 



00 

2 ^„ D„ = r e-y r. ( j- ) J (2 V' ^; dy. 



^'(j)=2"^"->"'' 



ce qui définit une fonction entière de j'. 
Cela étant, reprenons la formule (i i). Soit 

^ = >.<?'■?, 
), étant compris entre o cl i , et '-p variant de o à 2—. On a 

Supposons j:' positif. Tout revient à clicrclicr le maximum de la partie réélit' 
de (luand / décrit le cercle de rayon À. Or celle |)arlic réelle est 

À- -h À cos o 



t X 



\-\- iX coscp H- X- 



Appelons ni sa valeur. Il vient 



cos<p 



(1 H- X-)/« — /.- 



). ( I — 2 m ) 
On voit que i)i doit être tel que 

[(,4-X2),„_>.3]-^<>;i(,_,,,/,)î; 
OÙ 

X 

I 

I^'inalement 



I — / I -t- /. 






I n ; 



l'ac. (le T., i' S., U. 



-I<) 



<•! . |»;ir Ml il(\ 
nniii ,/• ^ o. 



i:. ir l'.ov 



V>J), 



I — X ^ y.» 



Si donc un iicnl lidiucr nn m un lue v. snjX'iKMir i'i i hl 



<|ii(' la scn<' 



soil conviTiionlf, la (onction 



2lô'"lf^-" 



.r'-;^/..!), 



est intégrable de o à + oc, quel que soit l'entier positif/:). 
Cela posé, cherchons à réaliser les égalités 



Posons 



a.,, ■=. I o{œ).x" dœ. 

oc 

0(^)=:2>.,,D,. 



11 viendra, en verlu de la formule ('j), 

n 



Or soil 



^ = «,„ (_,)/' >.,,/.! = /„. 



L'égalité précédente peut s'écrire 

n 



d'où 
c'est-à-dire 

hinah'mfnl 
Mais 



'■Il — '* "0> 



9(.r)- / e-r2^(-i)"-—^.v".l„(2v. /.}•>/ 



„-.,.2;i:.i)i^.,..=i;,-„'.^ 



( n ! y 



■y 



SLR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 387 

On a donc 

cp(.r) =r f J„ (2 v/7^)2(-- i)« -^7" dy. 

Le problème de$ moments est résolu, mais par an calcul put ement formel. 
Il f'iuil maintenant discuter la solution obtenue. Je me bornerai, sur ce point qui 
demanderait des recliercbes spéciales, à donner (|uelc|ucs indications générales 
et à signaler quelques exemples. 

Tout revient à étudier la fonction '^[x) définie par les formules précédentes. 
Une méthode consisterait à poser 



Si a,i est le coefficient générai d'une série de Tavlor avant un rayon de conver- 
gence fini, il en est de même de A^"'rto5 comme le montre la transformation 
d'Euler, et alors la série 'f (.2:, z) converge certainement pour les petites valeurs 
de z. Le théorème de M. Hadamard permet d'ailleurs d'exprimer 'f (.3?, z) au 
moyen d'une intégrale définie portant sur les deux séries 



2 



M^.n 



(|ui sont supposées connues. 11 resterait enfin à efifectuer le prolongement 
de '•:>{x, z) et à étudier cette fonction comme fonction de .r et ; à la fois, parti- 
culièrement an voisinage du point ^ = 1 , .r demeurant positif; et c'est à quoi l'on 
parviondiait sans peine en faisant sur les au des hypothèses sembhd)les à ceilc> 
du Chapitre IV. Mais je me bornerai, pour abréger, à quelques remarques. 
Imaginons d'abord (pi'il existe un nond)re u supérieur à 1 tel que la série 

soit comergcnte. Alors, en \i'ilu des Kinnics claMis plus h.uil. la série 

cp(.r)=V>.J)„ 


est absolument cl uniforméuuMil convergente pour .v o ; elle e>l inl(i;r.il>K^ terme 
à terme dans rinItM'valle (^o, + oc) et \\n\ a 

l9(.r)|<Mc'-'- 



:)88 i:. i.K nov. 

M cl // (l('>ii;ii,iiii (lt'ii\ coiishmlt's posilivcs assii;iial)l(N. Dans ces condilioiis, il 
ii'\ ,1 iia^ il<> (liriiiiilir'> ; iiou^ a\()iis niic solulion cllcclnt" du |ii()l)lriiic des ino- 

mt'nl>. ( r/ii a lirti noliini niciil si \ A'"' ^/„ |" tend vers zéro (ticc — > /tar cxcitijili- 
si (i„ est une fonviioii entière de n d'ordre inférieur à i. Un cas parliculior 
inU''i-cs>.iiil osl tcliii on (t„ csl un polynôme cnlicr en n : '-^(.r) s'cxprinx' alors pai- 
nnc somme d un nond)i(' liinilt' do quanlilés D„, car A'"V/i, csl nul à parlii d'un 
certain lani;. 

Oiioi <ju' il en soif, le proldi-me des moments est résolu pour les nonihres a„ 

de In fi'iDie 

ci.„ — n\(\{n), 

( I désignant une fonction entière d'ordre inférieur et i ; et lu fonction '-s (./•), 
ijui prend place alors dans les formules 



'.„ ^r. t o{x)x" d.r. 



est comparable pour les grandes valeurs positives de ./• à une exponen - 
tielle e~^' (A = consl. > o). 

Cela |>osc, je vais nionlrer que, de lonle solution du Ivpe précédent, on pcul 
déduire une solulion analogue pour les nombres o.„b„, b„ avant la forme 

f f{l)t"dl. 
l"n cflet, soit 

a,, = I o{x)x" d.r, 

avec 

\o{x)\<^le-'''', 

M cl // tl('-signanl deux constantes. On a 
d où 

^„b„ = / G{x).r" d.r, 



a» b,. = 



c'est-à-dire 



Slll LES SÉRIF.S niVi:il<;i:NTF.S et les lONCTIO.NS DI.IIMES, r.TC. '^8() 

l/intcrvcrsion des signes / est ici légitime, à cause de l'iiK-galilé que -i vérifie. 
SI lOri a 

f \/{l)[di<^, 

N élanl une conslaule posilive assignable. On peut alors écrire 

/;.•■ /il- 



|G(x)|< 



Oi 



M f l/( 



t)\-e '^' e ^' cit. 



_lt_r _li_ 

e -' <c - 



pour r positif et l compris entre o et i . D'autre part, dans les mêmes condition 



- e < • 

t chx' 



G(x)|<2MN 



ehx 



c. Q. F. It. 



FinalcDienl, le problème des moiuenls est résolu pour les nombres de la 
forme 

y.„ = n\(\{n) 1 f{l)t" dt, 

G(/i) désignant une fonction entière de n d'ordre inférieur // i (^ ' i. 

.le vais généraliser ce rt'-sullat en suivant une uiarclie analogue à celle du 
n" 34. 
Soit 



J a 



{.r).v"d.r. 



avec 



9(.r) I <Me-'" 



pour .r>>o. lin général, celte formule définira y.„ comme loncluin anaKliipii' 
de //, holomorphe dès que la partie réelle de n sera supérieure éi — i. Crilc 
remar(pie explitpie cl justifie les Inpollièses tpie je \ais laiie. 
Soit 



.^(0=V/..^ 



(I) Un l'iiiMiiiiiciiiciil idi'iit iijiii' ,1 l'i'Iui (lu n' !!(> iiiontii' >|iii' l.t iiiiiiii' t'oïK'lii^iuii Mil)>io|c 



lOiir les iKiMiliii's a„ d.' la Idi im- /( ' (n // i 1 1 
•iitii'-rr. 



\ f/)("df 



. Il ili'^iun.iiil imc liiiiclii'i 



^()0 



K. hV. ROY, 



une (cmlioii rc^iilirit' (l.iiis le oorclc de rayon i. Je sii|)|)osoi';u Ions ses poinls 
siiii;iiliors siliiés à j;ini(lie de Taxe inia;;iiiaire, el même, pour sim|)li(ier 1 ('•eiilure 
( mais cela n'a rien iTessenliel), je snj>|>oserai (jne le j)oinl — i est son son! poinl 
siiii^nlicr. (.('la posé, p' prends 

l.a nulliodf de sonimalion exponentielle donn('e par M. lioiei condnil à la (or- 
miile 

o„ ^= I c~" G{a/i) (la, 

(.(«,0=2d"^7! — 



on I on a ])OSC 



(>elle formule csl valal)le dans loule la région du plan située du même côU' cpie 
roriginc par rapporl à la parallèle à Taxe imaginaire menée par le point — i, 
en tout cas dans une région contenant toute la partie positive de Taxe réel du 
plan //. 

( )n peut écrite 

G ( «/O = -^ / ~ ai — \ e"«-^ clx. 



(C) 



C étant un contour fermé cpii entoure le point x = o et (pii est assez grand [)()ur 

enftrmer toutes les singularités de ai — y On prendra, si l'on veut. |)our C \\\\ 

cercle de ravon supérieur à i. Jîicn n'cmpéclie d ailleurs de déloiiner ensuite ce 
contour, pourvu (jue, dans sa déformation, il n'arrive jamais à rencontrer le 



iioinl 



Soit /. un noinhru,' compris cuire o et i. ('Iioisissons le contour C de la façon 

sui\ante: i"un cercle Ci de ravon — décrit de O comme centre ; 2" un cercle C) 

de même ra\()n décrit du point — 1 comme centre; 3" une portion L de l'axe 
rirl pour relier les deux cercles : le chemin d intégration est ainsi une sorte de 
(|i)iil)lc lacet C). (^uant à a, c'est un nombre positif cpielconquc susceptible de 
\ ai irr de o à -(- 2C. 

I aiii ipie .r reste sur (]. la partie r<'<'lle de c~"-^' est positive, car rargumeiil de 

cctir (piantilé a |>()ur \aleur o sur la portion eonsidérc'-e de Taxe r(''el et —'- siir^ 

('i aihiiil de o à 'àt.) sur cliacnii (l('> deux cercles : dans les deux cas. cet art^niiiciil 



( ' ,1 l'our li"< |)i'lilcs Miliiirs de a, on ^iippusi', on outre. /, < - , aliii (|iic <li <;l < i> restent 
extérieiii'j l'un à I autre. 



SUR LES SÉKIKS DIVEUGENTES ET LES FONCTIONS DÉILMES, ETC. 'J9 1 

reste moindre en valeur. al)sohie que - • On a donc 

n ! e""^ = e-«-^ / e-y<="" y" dy ; 



(0 
d'où 



(2) nlG{on)::=j ']t{a, y) y"' cly 

avec 

^{a, y)z= -^ I - a( -]e-''^e-y''~''^dx-; 
il vient alors 

( 3 ) /^ ! a„ m / 9 ( V ) y" dy, 

si l'on pose 

Le problème des moments est ainsi résolu pour les nombres de la foinu- 

a„— n\ <7„, 
mais il faut discuter la solution obtenue. 

Donnons à a une valeur positive (juclconquc. Le contour C. est dès lors fixé et 
la formule (i) a toujours lieu. 

Il faut maintenant étudier 'i/(c7, r). Dans ce bul, appelons Ou/) le maximum du 

module de — ai ~\ quand x décrit le contour C. 

Je distinguerai les trois parties C| , Co et L de C. Soient respectivement •!>, . 'l-,, 
'i/3 et (p,, <p2, 03 les fonctions analogues à 'l et cp qu'on en déduit. On a 

9 = cp, -f- 9.,-!- 93. 

(cherchons des Inniles supérieures du inoduK* de ces six lonclions. 
Sur (], , on a 

I e-"'c-y'"'\ <c'* e-y' '': 

d où 

1']/, I KXc-y ' 6{a), 

\ désignant une certaine eousiantc. 



Sur C-., on a 



K. I.K KO Y 



I e-"' c'-y^"' I < c" e » e-y-"' ' ; 



|i]/2| <Be''e-J-'"'-- '5(«), 

r> il<sii;iiiU)t une tlciixu'iiu" coiislaiitc. 

l'.nliii . sur I .. on a 

o < e-'''^e-^'^ "'< e"; 
d'où 

|^3|<C6>«(5(rt')e-r^-'"', 

(i iU'sij;iianL une clcrnit-rc conslanlc. 

On voil déjà que la formule (iî) a lieu pour toute valeur positive de <(. 

I.xauiuutns niainlenanl la l'orinule (3) et, pour cela, considérons l'intégrale qui 
donne .;. 

S itp/)osons que V intégrale 

I e-"0{a)da 

ait un sens. Alors '^, existe ainsi que 

f 9.(J)J"<>' 

pour toute \aleur positive de /> . 
( A'Ia étant . on a 



\o.\<li f e-y" '' 9{o)da. 



Pour J' > o, celle intégrale a sûrement un sens, à cause de lliypothèse laite 
sur 0(«) : donc '■^■yij'') existe. Mais on pcul assigner une limite supérieure D à 
e~" 0(V/ ) cpiand f( est positif; d'où 



I 9i I < IJU / e«-:>'^° ''' da. 

^0 



l'aisons le changement de variable 



Il vient 



|<BD_( 



e"= b; 

e-''^'' dû, 



SLR LRS SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 3(j'J 

c'est-à-dire 



Donc les intégrales 



ont un sens ii |)artir de n = i 
Enfin 



J 



/ ?2(j)j"^/ 






).7i: 

dt. 



Posons 
il vient 

c'est-à-dire 






, , , 0(a) 1:^ I 

' ^ ' Tia y 

En utilisant cette limite supérieure de | 'l-^ \, ainsi (jue celle qui a été obtenue 
plus liant, l'une pour les grandes valeurs et l'autre pour les petites valeurs de a, 
on voit que co;, existe. On a même 

|93|<Ee-r- (^, + 1), 
E désignant une constante. Donc les intégrales 

ont un sens à partir de /?= i . 

En définitive, on voit ((ue le prohlènic des moments se trouve résolu avec une 
entière rigueur. 

La seule condition, outre celles qui concernent la nature anal\lupie de <i„ 
regardé conitïic fonclion de son indice, esi (jue l'inlé^iaic 

f c-"0{a)d<i 
ait un sens (•). 

(') liuitilf (K- faiii" romaiiiiHM- (|uc, si (t{() est uiic ("onotinn cutioro, lo oiuUoiir C se rotluit 
il l;i pari ic ( ij. 

lac. de /., r S., II. )() 



><)'i r. i.r. HOY. 

Si oIIc est i\"in|)lic ('V ou pciii ('riiio 

a.„.— n\a„z=j o{x) .r" d.v, 

<■ 

'.p(j') élaiil |)()iir ./• = 4- X de ruidrc (I(> ^ liiiidciir (riinc cxponciil icllc Icllc (iiic 
,-h.v ^7, _ ,-oiisl.> o). 

l'inalcincnl , nous S(fi-o/is rvsoiulrc le prohlrDie ({es /i/onic/i/s /Hn/r tous 1rs 

nonihi-es de la forme 

ni a„, 

(i„ étant le eoejjieient généial d'un dé\el<>ppenifnt laytiuien étudi(dde par 
l'un des proeédés du Clnipitrc I]'. 

]c n'insislorai pas sui' (|iu'l(|iics généralisalions ('■vidciilcs (ju'on ohlit-iit soll en 

forniaiil iiiic coinbinai.soii linéaire de fonmiles telles que (4), soit en (aisant dans 

(■(dle-ei une suhsliliilion x=^\x\ \ élanL une constante. Mais je vais nionlrer 

(|uc, si la lonmile (4) s'a|>|di(jiie aux nond)res a„ el [j„, le [troidrine des nionienls 

peut encore être résolu jioui' les nombres 'J.„%„- ^-ela ncMis pcrincl lia diiltcindrc 

tous les nombres de la forme 

(//!)-a„, 

Un axiiul les mêmes caractères (jue ci-dessus. 
l*o>ons, en eflet , 

a„= I 9 ( j- ) a:" d.r, | o ( .r ) | < M e -''■'■, 

Pn=f •Mr)7"<r, |'|(j)|<M'e-'''r; 

on a 

a„y"— - f o(-]x-"dr; 
d'où 

x„ ;3„ ^= I G (.r) x" djc, 

•- 
.IVt'C 

l.a di>(U^->ion «'>t bien aisi'e. On p<Mil ('erire, en ellet, 



|r.(.r)|< 



MM r ^e-'' 



y c » dv. 



(') On |K'iil |>iimmIi.'. |i;ir o\cm|»lc, <7„ = e' 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. Sqi 

l\)Sons 

Il vient 

/-»» llIl'T 

\i^{x)< MM' / -_ e-- e ^ dz ; 



///,■..• 



\Jz \Jelili' 

quand z varie de o à + x; d'où 



X 



hh- 



l(i(.r)l<-=_^ / -e ^^r/r. 

\jelifi'x.J^ \iz 

Mais 

I -^e " ^^ (Iz = \/T:e-\'^'''''-'^, 

[)ar suile, 

|r,(x)l<MMy^c.-v'^, 

ce (|ni jnslilie nos calculs. 

On a ainsi, pour le problème des momenls, un théorème analogue au lliéorèmo 
de M. Hadamard, étudié dans le Chapitre V. 

Remarquons que, dans tous les cas signalés, la fonction 'o(x), qui résout le 
|)rol)lème des moments, est comparable pour ./■ = -|- oc à une exponenlicllo de 
Tun des tjpes e~^ ou e"^*^ . C'est donc toujours une âc> fonctions appelées par 
M. liorel (') fondions de Slieltjcs. 

On a alors les résultats suivants : 

i" Il n'y a pas deux fonctions tie même espèce donnant lieu aux mêmes éga- 
lités 

y.„ ^=z I o{.f) x" dx; 

2" La série toujours divergente 



est une série de Stie/tjes. \)c pareilles >éries conduisenl à des fondions bien dé- 
terminées 



r^^dx, 

J^ z + x 



(') Mt'nuu're sur les si-ries (/i\-cr::ri>tr^. III'' l'mli.'. ^ \ [ A/inn/<s (/c / ' /'.'co/c Xormalc 
sitprrieurc ; iSi)<) . 



S{){\ 



F,. II. r.OY 



liolmnorplios dans loiil le plan, sauf pciit-t-trc sur la parlio lu'^alivc de l'axe réel. 

• (.li.icuiie (If ces sriics est \,t dilK rciicc de doux Iraclions conlinucs convcr- 
i;<"nl('> du I \ |)(' tiiidu" |iar Sti("ll|cs. 

î" La somino. la dillt-iu-ncf, le prodiiil de iltiix de ces séries csl encoïc une 
•-rv\c lie même espèi'e. 

>" l ne de ces séries n ol i(l('nli(Hiciiienl nulle (|ue ^i la (ouelion eorrcsnon- 
danle 1 esl elle-nuMue, el il siillil ([uc la séîric \vv'\\\v JornicUcnicnt une éc|ualion 
(lilltitMitielle al^t'l»ri(|ue pour i|ue la foiuliou (|iii lui esl assoeit'c soil une inU'- 
j;iale tli- celle é([ualion. 

M. Borel, (|ui a démonUu' ces llii-oièuics, ('ciisail à ce piojjos : o Mallieuieusc- 
uienl, saui dans le cas 1res parlieulier (|ue Slielljes a haiU' à Taide des iVaclions 
continues, nous ne |)()u\ous indi(|U('r aucune mi'tliode précise pour reconnailr(> 
si une série donnée est une série de Slieljes (') ». On \oil «pic les ic'sullals 
ohlenus dans le présent Chapitre permettent de combler eetle lacune dans un cas 
assez élendu. 

le ne doule pas d'ailleurs qu'on ne j)uisse gi-néraliser beaucoup ces réMdlals. 
Mais je me conlenlerai d'avoir cité quelques exemples nels, cl, sans plus insister, 
je terminerai par (pielques remarques. 

17. f.i- problème des momenls est lié très étroih'nienl <iii prohlcnw de ht 
représenintion d'une série de Taylor par une intéiirnle prise entre o et 
-h X. 

Soit 



avec 

^" = ë'i / FU)'^"' <^i-i', 

_i'„ clanl II- co( lii( icnl ^i'-ikt-jI du d('\ cloppcnicnt diiiir (onction entière (1. Ou a 



/{z} = f \'(.r}r.{z.r)d.> 



(ne discussion l'ai^ile pei-meltr.i souvent de déduire de là les propriéh's de /'(r 
il,in> une réi;ion fin plan plus ('leiKliie que le cer( le de convergence. 

l'iiui laire la discussion, en nolanl pai' (i la dérivée de (i, on de\ia «I abort 



/.ne. rit., p. I }:i. 



Sun Li:s si:niKS diviTvGenïes et lks fonctions di-iiniks, etc.. 897 

établir (jiie les inU'j^rales 

f \F{u:)\\CM{zœ)\cU, f \F{jc)\ [Cm' {z.Jc)\^-cU 

ont chacune un sens, cl converj^ent uniforménienL tant (|iic c resle (Jans un (( r- 
tain domaine T <jui conlicnl l'origine; puis, il faudra s'assurer c|ue rinlégraie 
/'(^) esl dévcloppable autour de o en série entière. Ces points élucidés, on aura 
défini dans T une fonction analytique de z prolongeant la série donnée. J'ajoule 
fpie la discussion ne soulève d'ordinaire aucune difficulté sérieuse, et c'e>l jniur- 
(|uoi je n'insiste pas. 

On remarquera que le procédé de prolongement dont il \icnt d'être fait men- 
tion ne dillère pas, au fond, sinon par la généralité, de celui que ^I. Horel a pro- 
posé sous le nom de méthode des séries divergentes soinmables ('). Lui-même 
avait signalé quelques-unes des généralisations possibles. Comme il a donné sur 
ce sujet tous les éclaircissements désirables dans ses remarquable-^ Mémoires, je 
ne fais que passer. 



Voici un exemple. Soit 



f{z)=^a„." 



„./' 



, ,. + i 



.v|<i 



C'est une série possédant une infinité de pôles sim[)les aux environs de z = \^ 
semblable à celle que M. Poincaré signale au Tome II de ses Mélliodcs nome/les 
en Mécanique céleste (-), sauf qu'elle a un cercle de convergence. On a 

/■" -J^ -- .r"-' 

J, -^ {fi — i)l 

d 1 ) Il 

°° .,« * ^ 

L m Icgralc n a de sens que m la paiiii- réelle de r- i'>l iiileiitii rc à i . I )a us ce cas. 



(') Joiiriifil (le ]/iif/i(-/ti(ifii/ucs; i8<)(), cl l/nni/is de l'Hioli- \i>r/n<i(<' : iS«|i|. -- 
M. Hiiifl |)rrn(l »\ -Icmiil ii|iicm(iil !•"(./• i — f ^•''. 



( ■-') l'iV^c \. On il ici /'( - ) = j\ 



1 1-t- - 



^()8 V.. i.r. no Y. 

iriiillfiirs, il c^l \i>il)lc (|Hf I iiiIi-^imIc y ( r-^ fomnil la sommo de la st'ric 7 y-zi z" . 

1 
( )ii \()il (|iu> crlli.' stMU" <l(liiiil (jonc mic foiictioii lioK)iU()r|»li(; (hiiis la région 
<lu plan Mliit'c à i;aiu'lu' tic la parallrlo à Taxe inia^inairc avaiil H- 1 nom- 
ahscissi". 

Une rcl.ilhiii, (''laMif plus liant à piopos de 7 iX'f'e '', |)(Min('l d étendre ers 

1 
eoneinsions an cas on t\' a nne valenr (pielcontHie i(''( Ile on imaginaire : on a le 
nio\en d élndier /'(^r ^ eoninie fonelion de ; et it' à la (ois. Ku eUct., 



i ^"^="'X''"Gv/^)(-T^ 



1 

Alors, par cliaiii^emenl de rordic; des intéi;rations, 



en reniai'(piant (|ne 



/ e--"- e-^ Jo f 2 i/^' L -î- j r/j: = 



I — 



Soii niain tenant 



h ~ = l; 

y 



il \ 1 e II t 



' — - J„ ( e' — a 



Regardons /"(^c) eoinnic nne fonelion de \v : ses points critiquai restent fixes 
iliinitd z- varie, /{-•) est d'ailleurs liolomorplic duns tout le plan («t'), sauf 
pour (V = I et u- = x, et elle n'est pas uniforme . Regardons ensuite f{~-) 
eomine une fonetion de c : elle est liolomorptie dans la région du plan {z) oii 

la jHirlie réelle de \ H est positive, cette région est d'ailleurs formée 

par r ensemble des points du plan (z) extérieurs au cercle décrit sur le seg- 
ment (1, :>.) comme diamètre. Tons les points singuliers de f{z) sont donc con- 
lriiii>, (piel rpie soit ii', à rintt-iienr de ce cercle. I*2n eliangc.'int le clicmin d inté- 
gral mil pa r la Inrinii le 

^ = 0e''", |ri)|<-, 



sur» Li:.S SÉIWES DIVEKGKN'ir.S KT LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 399 

p dcveiKiiil la nouvelle variable d'iiUégralion el oi rcslanl fixe, si Tcjn j)ose 

z =. a -h ip, 
on li'oiive comme coii|)tii'e 

a-+ [j- — 35; — ,5 tangoj 4-2 = 0, 

e esl-à-dire un cercle quelconque passant par les points i el 2 du pKui [:■). On 
voit ainsi que les points singuliers (]e f(^z) sont distribués le long de ce seg- 
ment (1 , :i) . 

On se rend compte, par cet exemple si simple, de la manière dont on peut \ a- 
lier l'emploi de nos mélliodes et dont on arrive à faire rétudc complète d'un<- 
(onction «lonnée autour de Torigine par une série de Taylor. 

48. Les procédés d'étude (|ui viennent d'être exposés sont sus(e|)liljles de 
mille \ariations. 

Pour ne citer qu'un exemple, remarquons (pi'il serait facile de trouver les con- 
ditions de développement d'une fonction arbitraire en série j)rocédanl suivant les 
polynômes P„ : on pourrait utiliser, pour cela, les remarques données par M. Dar- 
boux dans son Mémoire Su/- les fonctions de grands nombres, à pro|)()s des 
séries ordonnées suivant des polynômes qui forment une suite de Sturm. 

Sans m'appesantir là-dessus, je ferai seulement remarquer que, si l'on <( 

cp(j^) =:>^ /.„!>„ (.r), 



il vient, en vertu des formules (1) et (2), 

l„{n\r-= f e~^o{j)\\,{x)d.v; 

d'où la délernnnalion des coefficients du dévelop|)cmenl de '-p(.r\ loi-qne celuiri 
est possible. 
Soit donc 



Posons 



(I 
V >,„ l)„rz 9(.r) rr Ç" c-y T. ( v) J„( >. v'7/) dv- 



'\00 



K. i.r. no Y. 



1\(.0 



^.= (-')"/ ?(-^-)î^ 



t/.r 



•I . p.ii su I If 



A^-: 






(.r)6' '-'^j 



Si 'f(.<") c^l pour ./• j)u>ilil cl Iris {^raiid cuinjuirahlc à c "■'', on \(»il cm j)osaiit 
; = a -h /^ que /{:•) est holomorpljc pour 

(i — a) {x- -\- ^-) — (i — 2a)x — a <^ o. 

(Quelle est la coupure? Pour a = :^, on a le cercle de rajon i , cpii est le cercle 
lie convergence. Pour a = i , on a la droite a=i. Pour i <C <^/ <C ' ? on a un 
cercle langent en i au cercle de convergence et contenant celui-ci à son intérieur. 
Tour r? > I , on a un cercle langent en i au cercle de convergence et extérieur à 
celui-ci. Une discussion aisée fait trouver dans ces divers cas des propriétés im- 
portantes de /(z) : on est ramené à la discussion de 'o(t) pour les grandes va- 
leurs positives de ût. 

On aura sans j^cinc des gcncralisalions de celte méthode, toutes les fois qu'on 
pDiirra j)oser 

el (pion connaîtra la fonction génératrice des A„. 



il). Toutes les remarques précédentes peuvent cire étendues au cas où Ton 

clierclie à réaliser les égalités 

..+ - 
a„:= I o{x) x" dx, 

à quoi l'on parvient à l'aide des poljnomes de M. Hermite. 

J'en puis dire autant du cas où les limites de l'intégrale sont finies, ce qui nous 
ramène à noire point de départ. 

Soit, j)ar exemple, 

a„=z / o{x) x" dx. 

Cherchons à résoudre ces égalités par rapport à C5, les a„ étant donnés. 
Posons 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 4oi 

les \p élant les polynômes de Legendrc. Il vient 

Ki= ^— X„(a), 

X,, (a) désignant ce que devient X«(^) quand on y remplace xP par -Xp. On est 

alors ramené à discuter la convergence de la série /^ (2/1 -h 1) X/^(a) \„(x). 

(j 

Si cette série est absolument et uniformément convergente pour — i5a;£i ('), 
/(s) est holomorphe en tout point du plan, sauf si z est réel et plus grand que 1 
en valeur absolue. Si même la série en question définit une fonction de x bolo- 
morphc au voisinage du segment ( — i, -+- i), /(z) n'a j)as d'autres points singu- 
liers à dislance finie que — i et +1, mais alors cette fonction n'est pas uni- 
forme. 

Si, par exemple, les y.,i sont donnés par les écpialions linéaires 

2 /« + I .1 

A«= ^^ — \„(a) = —^, 

aisées à résoudre de procbe en proche, il vient 

(?{x) = e^Ja(\/i — x^), 
en tenant compte de la relation 

X„{x) = — I (x -+- y/.r^ — i COS9)" do, 



(jui donne 






On aurait d'ailleurs des généralisations immédiates en considérant, non plus lo; 
polynômes de Legcndre, mais les polynômes liypergéométriques généraux. 



Vil. - A 



iMM.K \ii()\s 1)1 \ i:rvsi.s. 



50. Je ne puis songer à énumérer toutes les applications que l'on p»Mit faire des 
méthodes précédentes. J'en citerai seulement cpudcpies-unes, se rappoiLmi onci)re 



(') Il siil'lil (jiif la si-rie on qucslioii dclinisso 11110 t'tniolioii .s(^.r) Icllo quo l'iiitoiiialo 
1 I cp(.r) I (Lr ait un son»;. 

lac. de r., ."■' S., II. 5l 



|02 



K. l.r. ROY, 



(pour rcslor (laii> \o nu'iiit> ordre d'idées) à réttido des (onclions définies p;ii- eer- 
l.tines séries. 

l'oiil dahoi'il, d e>>i clair (|ue noire niélliode nesl an fond (|u Un procédé de 
soninialion des sérn'>. La Iranslornialion d une série en nne inléi^rale, snixanl les 
modes indi(pn''> |)lii-< liant, c-l pailois très avanla^Ciisc an point de \iie dn calcul 
nninémpie, eoinine l'a montré M. A. .lanel [' ) sur un exemple ainpici je me coii- 
tenteiai île ren\OM'r le leeleiir. 

Celle lemanpie lron\ e iiiu> a|)plicaUon iiniin'diate dans la théorie des fondions 
l'nlièrcs, c'est-à-dire des (oiielions Ijoiomorplies in tout point dn |)laii. 

Soit, par exemple, 

00 



on a 



xh — 

X 



(rt-f-l)"^' 

G(^)=/ e ■• 



n\ 



dx. 



dx\ 



Celle nouvelle expression fouinil plusieurs rcnseii^ncmenls sur G(:?) : on voit, 

j)ar exemple, que Téqualion 

G(.^) = o 

n"a pas de racines réelles, (jue l'on a 

G(r)<e^ 

pour c > o, que G(:;) tend vers zéro quand :; devient infiniment i;rand et né- 
gatif, etc. 

Posons, en général, 



a désignant une constante (|uelconcpie et p un entier j)ositif. Snj)posons (pie l'on 

(X„=i I o{x) x" dx. 
Soit (i) une racine primitive de réf[uation binôme 



ail 



(') A. Janet, Comptes rendus de l'Académie des Sciences; 189:'!. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. .\o'6 

il vienl 




1 



Qtii^ (azxf 



G (:;)=: f 9(^) dx. 

On peut alors assez généralement, en suivant une marche exposée par M. Poin- 
caré dans sa Théorie analytique de la chaleur ('), trouver la valeur asympto- 
tique de (j{z) ou tout au moins des inégalités asyinptotiques auxquelles G(c) 
obéit. 

Signalons encore un cas simple, qu'on généraliserait d'ailleurs aisément. On a 
l'identité 



e-G(.) = .-2S-"=2^'-"' 



Si a,, = nP [p entier positif), on voit que G{x) est le produit de e' par un po- 
lynôme de degré p en x. Si a,j est une fonction entière de /i d'ordre inférieur à i , 
G(^) est le produit de e^ par une fonction entière de x d'ordre inférieur à i. 

En résumé, si a„ est de l'une des formes examinées au Chapitre IV, la méthode 
de sommation exposée dans ce Mémoire peut apporter une utile conlrihulion à 
l'étude des fonctions entières de la forme 



AdY{pn + i) 



autour de leur point essentiel à l'infini. 

Je n'insisterai pas davantage. Mais je vais montrer maintenant que l'emidoi do 
cette même méthode ne nous confine pas nécessairement dans la théorie des 
séries de Tajior. 

51. Une fonction représentée par une série trigonomé trique est-elle ou 
non analytique? Une réponse peut être donnée à celle ({ueslion dans des cas 
étendus. 

Soit, pour fixer les idées, 



avec 

«„=/ (?{x)x'*dx; 

(') Carré; Paris, 1895. — Voir]c Chapitre Ml. 



.'|04 K. LE ROY. 

il virnl 

•^ Jjj ' I — a^coss -f- J7* 

Los coupures sont 



c'esl-à-dirc 



cosz =z -( jc -i ), 

2 V X 



5 =r aX- ± /L — • 



CiOtnino .r varie de o à i eu roslaiil réel, ces coiipiiros sont les parallrlcs à V.wc 
imagiiKiii <• ilii pi. m {:■ ) menées j)ar les poinis de l'axe réel d'abscisses 2/.-. On 
voil donc que y\ '•) <'f/ ifffe fonction périoditjiic de z Iwlonxorplic dans cliticunc 
des bandes ainsi délimitées. 

Des résultais semblables peuvent èlrc obtenus pour des séries autres cjue b^s 
séries Iri^oiioinélricpies, dès (jue l'on connaît la fonction génératrice des fonctions 
suivant les(piclles procèdent ces séries ('). 

Soil 

/(3)^Va„X„(=), 


les lettres \„ di'signant les polvnomes de Legendre, dont la fonction génératrice 

00 



est 



Si I tin a 



\\ viendra 



La coupure est 



(Xn^= f o{^) X" dx, 



z—-[x 

2 \ X 



X variant de o à i par valeurs réelles. C'est la portion (+1, +ûc) de l'axe réel du 
plan (::).On voit qua /(-) est liolomorphe en tont point, sauf peut-être ponr z 
réel et supérieur à \. La discussion peut d'ailleurs être poussée plus loin, 
comme il a été déjà dit; et, d'autre pari, l'intéi^rale tpii exprime /\;) est bien 
flf'veloppable pour — 1 << r -< -i- I suivant la st-ric donné-e. 



('^ En particiiliir. la mi-ilindc «'a|)|)Iii|iic nii\ séries do la forme ^a„['f( z )\" . 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 4o5 

Soit encore 

/(.)=2:^p.(=), 

û 

les lettres V„ désignant les polynômes déjà considérés, définis par la fonction 
génératrice 



iiii=vr._L(^x». 



On a, cette fois, 



r + X ^aà n ; 





/■•^ 



e 



et l'on voit que f{z) est une fonction entière de z. 

La même conclusion est vraie pour les polynômes de ^I. Ilermile donnés par 
l'égalité 



■,—x^—izx 



On pourrait multiplier ces exemples. 

A propos de toutes ces questions, on aurait des théorèmes précis en se repor- 
tant aux conditions suffisantes trouvées plus haut pour que 






r ) x" dx. 

Des propositions analogues subsistent d'ailleurs évidemment si a„, sans être de 
cette forme, peut élrc mis sous quelqu'une des autres formes de même espèce 
que nous avons examinées. J'ajoute enfin que ces divers j)rocédt''S |>tMi\ent servir 
pour al tribucr à des séries divergentes un sens bien tléfini, |)arliculirreiiiiM)l pour 
construire, à l'aide de lu méthode de somnuition de M. Borcl, des fonctions gt-né- 
ratriccs irrégulières à l'origine, comme il a été fait à |)ropos des polynômes l*„. 
Mais c'est là un point qui demande un examen sprcial. 

VIII. — :\ppLic.VTi().\s A i.\ TiiKonii" nr.s mhiis ni vkkc.entks. 

52. Les considérations di'veloppées tkins les pages précédenles sont «mi relation 
étroite avec le piohirmc des sr/u'cs ffi^'rracftft's. (Ve>^l ce (\nc je vais «'xpliquer. 
Mais, pour cela, |c ilois commencer par poser ncItenitMil la (|iic-«lioii. 

l'.tanl donn(''c une lon<lion anal\li(pic. (pic nous MippostMtUis ii ni fiunii' poiif 
plus de siinplicil('', l'un (l(>s objcls iinporUuils i\c la Tlu'oric des fondions est d"cii 



'l()() 



K. i.i: no Y 



conslriiiri" iiiic rrprt'SJMilMtKtn ;in;il \ Ikhic mu niovni (rniic cxnrrssion Icllcincul 
clioisio (in'clU' CNpIicilc, autiinl (in'il csl possihio, les divciscs piirliciiliirilrs do la 
lonclitMi (|iii lui correspond. vSj Ton mmiI une reprcscMilalion par("all(>, il faul que 
I expi ("->>i()ii li(Mi\('-e soii aix-nx'ul inaiiiahlc dans le ealeul; il (aul, en outre, 
t|u elle soil nni(|nt' pour une (oiuiion dounc'e; il faut eiilin iprclle piiiss(^ servir 
à tlélînir la lonclioii envisagée dans (oui le domaine où celle-ci exisle. J)'aulre 
|)arl, coninie les fondions inlcrvicnnenl surloul en Analyse par leurs singula- 
rités, ces dernières doivent élre mises en évidence dans l'expression considérée. 
Or, SI 1 on en reste aux notion-^ ('h'nien taires de con\ergence cl de limite, le j)i'0- 
Mènie de la re|)résentation analytique des fonctions n'est pas complètement résolu. 
I.n i>llet. on en a l)ien |>roposé plusieurs solutions; mais, parmi ces solutions, les 
unes (comme celle de Taylor au moyen dune série entière, ou celle de Caucliy 
à I aide d Une iiilégrale dé(înie) présenteni le double iiiconx énieni de ne |)as ma- 
nifester les |)ropriétés de la fonction représentée cl de n'être valaldes que dans 
une partie du domaine naturel d'existence de celte fonction; et les autres (séries 
de fractions rationnelles de MM. Runge et Painlevé ou séries de polynômes de 
M. Milhii;-!. ciller), outre qu'elles sont d'un calcul dilHcile, ne sont j)as déter- 
minées sans aml)iguïté quand la fonction est donnée, en sorte qu'elles peuvent 
représenter zéro sans être identiqucmcnl nulles. En se résignant à des restrictions 
sur la nature des fonctions étudiées, on peut, il est vrai, parvenir à des solutions 
meilleures ( jiar exemple, la solution de M. Millag-Leffler pour les fonctions uni- 
formes n'ayant qu'une infinité dénombrable de singularités); mais, au défaut de 
n'être pas facilement maniables dans les calculs, ces solutions joignent celui de 
ne se rapporter (pi'à des fondions d'un certain type. Que faut-il donc faire? 
Devons-nous entreprendre la recherche de nouveaux modes d'expression des fonc- 
tions? Ne serait-il pas plus conforme aux principes ordinairement suivis dans le 
dévelop|)ement de l'Analyse de s'ingénier à tirer parti des représenlalions déjà 
connues, en élargissant au besoin les définitions sur lesquelles elles reposent? 
( )ntl(pies observai ions \ont nous fixer à cet égard. 

La série de Taylor, si simple, si facile à obtenir et si connue depuis tant 
d'années qu'elle s'esl imposée, présente des avantages indiscutables pour la repré- 
sentation des fonctions : 

i" Elle s'est inlroduitc d'elle-même comme un élément essentiel de l'Analyse; 
elle apparaît comme un fait inévitable, et, d'ailleurs, elle est très aisément 
maniable dans le calcul, notamment aux points de vue de l'intégration et de la 
dérivation ; 

2" Elle est unirpie pour une fonction donnée, en sorte qu'elle ne j)eut repré- 
senter zéro sans être identiquement nulle; 

3" Elle peut servir à définir des fonctions quciconcjues, uniformes ou non 
uniformes; 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. \o-J 

4'^ Bien qu'elle ne converge qu'à Tintérieur d'un certain cercle, elle caracté- 
rise la fonction qui lui correspond (notion du prolongement analytique, d'après 
Weierstrass) et fournit le mojen, au moins théorique, d'atteindre celte fonction 
dans tout son domaine d'existence à l'aide d'un ensemble dénombrable d'opéra- 
tions régulièrement classées (remarques de ^I. l^oincaré sur les fonctions non uni- 
formes générales); elle signifie donc quelque chose, même quand elle diverge. 

Son seul défaut est donc de diverger en des points où la fonction qu'elle repré- 
sente existe encore et, à cause de cela, de ne pas mettre en évidence les singula- 
rités de celte fonction. Si l'on parvient à étendre la notion de représentation 
tay/orienne jusqu^à la débarrasser de la double restriction que je viens de citer, 
on aura complètement résolu le problème que nous avons posé. Cela conduit à 
voir ce que Ton peut faire des développements tayloriens divergents, pour lesquels 
les notions élémentaires ne donnent plus rien, mais qui n'en remplissent pas 
mo\ns formellement le même rôle que les séries de Taylor convergentes. 

La marche cjue nous suivrons consistera donc à généraliser les notions élé- 
mentaires concernant les séries, de façon cjue nous en arrivions à faire usage 
de celles-ci, même quand elles ne convergent plus, en sauvegardant toutefois 
le principe de la permanence des formes opératoires ('), comme on a fait 
dans la Théorie des écjuations algébriques en inventant les racines imagi- 
naires. C'est ainsi que se pose \c problème des séries divergentes. 

53. 11 importe de se rendre compte, ])ar avance, des difficultés que l'on ren- 
contrera. 

Etant donnée une série numérique convergente ou non, 

«0 + 3Ci -H a^ -i- . . . --H a,j -t- . . . , 

on devra lui donner un sens arilhméticpie au moyen de conxenlions lellos (pic la 
valeur qu'on lui attachera soit celle que prend |)our r = i la fonolion (K'Iinii' par 

la série entière 

«0 -f a, z -\- OLoZ- -\- . . . -i- a„ -" -f- . . . , 

à supposer que cette série soit convergente dans un ceilain et leli' di ( lii de c -::i o 
comme centre. Plusieurs conséquences ilécoulent de là. 

iJ'aboi'd nos convcnlions devronl tomber en (b'-faiil lor^(pic l,i x'^ric N x„ ;" 

aura sou cercle de convergence comme couj)ure (^du nu)ins, l.uil ipie nous n au- 
rons pas généralisé la notion de prolongement auaiylicpieV On >.iii (pie e'esi |,- 
cas général, si l'on part d'une série ai'bilrairemenl donnée. Mais, dan- l.i |<i al iciiie. 

(') IIankivI., Vorlcsunf^cn Hbcr comptcvc Zdhlvn. 



'l(>8 K. Il r.oY. 

les séries t|iit' l'un reiiconlrera stMoiil lii'-cs à des fonctions analjli(jiies gcndralcs, 
,Vst-à-ilire (Migemlrécs j)iir cllos el non posées a priori; or, les fondions inler- 
Ncnanl smloiil par leurs points singuliers, il faut regarder comme général le cas 
où la di>lril>uli()ii de icux-ti esl (picleoncuic : alors la série d(î Tavior corrcspon- 
danl(> ailla Mir son cercle de convergence un point singulier au moins cl trois 
(tu plus: le prolongement sera possible. Nos eomentions seronl donc valables 
|unir la plupart ilcs cas usuels. 

D'autres diiVuullés paraissent jilus sérieuses. On \o\\ sans peine i\uv les eon- 
\ (Mil ions à faire doivciil rire telles cpi'une série à termes tous positifs puisse avoir 
|)oiir somme (cpiand elle esl divergente) un nombre négatif ou même imaginaire, 
il peut même se produire des circonstances (à cause de la non-iiniformilé des 
loiulions) où noire série devra avoir plusieurs sommes suivant le eliemiii suivi 
])ar r pour aiii\(r au point i (' ). Va\ un mol, dès (pie l'on abandonne les notions 
classiques de convergence, il est forcé que Ton rencontre des périodes pour les 
séries comme on en a trouvé pour les intégrales. 

l)ï. \lu j)arlanl du problème des séries divergentes entendu comme je viens de 
le dire, je me trouve amené à signaler un autre problème connexe dont j'aurai 
aussi à m'occuper. 

Exisle-t-il des raisons permeHant d'allribuer un sens à certaines séries de 
Taylor dont le rayon de convergence est nul et, si oui, quelle fonction faut-il 
attacher à une pareille série de Taylor? 

On sait que l'on rencontre souvent, au moyen de développements ordonnés 
-uivanl li> puissances d'une variable, des so\u\\on?, formelles de certaines équa- 
tions dillerenlielles : on verra que, dans des cas très étendus, ces solutions 
formelles définissent des solutions effectives. 

5o. M. Horel (-) est le premier qui ait abordé méthodiquement, du moins pour 
le cas général, l'examen du problème dont je viens de ra|)peler l'énoncé. Avant 
lui, Slieltjes s'en était déjà occupé, mais seulement pour les séries développables 
en fractions continues convergentes d'un certain Ijpe. Après lui, MM. Leau (') 
et Servant (*) ont examiné les mêmes questions, sans apporter toutefois un prin- 
cipe de solution nouecau. Je terminerai ce court Historique par une seule re- 



00 '-' 

(•) Exemples: ^^~^—: =2~ O^o"'" •= = — 2, -s = + 2) ^ y^^r =2^" ^'*^"'" ^ = '■^^• 

(») E. V>i)\\y.\.,.f<>iirii'il ilr Mallicinatiqucs; iSyO, cl Annales de l'Ecole Normale: 1899. 
(») Leau, Comptes rendus; 1898. 
(*) Skrvvnt, Comptes rendus; 1899. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 4^9 

marque : Cauchy fut le premier à faire comprendre la nécessité des discussions 
de convergence et le premier aussi à montrer (notamment à propos de la célèbre 
série de Stirling) ffu'on pouvait tirer légitimement parti des séries, même lors- 
qu'elles étaient divergentes. On connaît enfin les travaux de M. Poincaré sur les 
séries asymplotiques dans la théorie des équations différentielles linéaires. 

Sans parler des généralisations possibles (indiquées d'ailleurs par l'auteur lui- 
même), la méthode de M. Borel consiste à faire correspondre à la série numé- 
rique ^a„ la série entière ^a„5" et à celle-ci l'intégrale 



/■ 



da. 



Ad n\ 



M. Borel montre que la somme ainsi donnée à une série entière coïncide avec 
la somme ordinaire lorsque la série est convergente. Nous avons eu déjà l'occasion 
d'utiliser plusieurs fois ce procédé de sommation. Mais il est temps maintenant 
de présenter quelques observations à son sujet. 

Si la série \^a„;" définit une fonction entière, elle est convergente dans tout 



le plan (^) et la méthode de sommation de M. Borel ne peut rien donner de plus 
que la méthode ordinaire. 

Si la série ^a„2" possède un cercle de convergence fini, on est ramené à 



l'étude de la fonction entière associée 



L'emploi de la méthode de M. Borel a donc pour résultat do dilater le cercle de 
convergence jusqu'à l'infini. Mais cela ne constitue qu'un déplacement île difli- 
ciillé, iiliie sciilenient dans des cas parliciiliers (si l'on exceplo coii\ où Ion itar- 
vient aiiiM à nionlrcr c|ii(' la série chmnée admet son cercle de convergence coinnio 

coupure). I'">ii rt'-alilé, on a Ixtlayc toules les singularités (]ue possède 7 x„c" 

dans le plan v[ on l(>s a condensées à l'iiiliiii : il faut ensuite laire une étude aussi 
(lillicilc <pic réliidc du prolongement de la fonction donnée, celle de la fonction 
cntirre associée aux environs de son iioiiil essentiel à ! iiilini. 

Au contraire, si la série ^ 3t„ c" a un ra\on de comergenee nul, la méthode île 

u 
Fac. de T., i' S., II. S'I 



/|io i:. ir. noY. 

M. norrl ;i|>p(ii-tt' iiiiclinio cliosc do loul noiivcnii. L;i roiiclioii associc-c prc'scnlc, 
en ollel, alors (an moins dans des eas élendns) un cercle de convergence fini. 
L'inl«'{;rale peul donc définir une fonction analytique bien délerminée que l'on 

allaehera à la série toujours divergente ^a„c". T.a question est ramenée à l'étude 



du |>r()l(»ni;enient de la lon(Hion associée : on a, en somme, analysé les singu- 
larités primilivenuiU mêlées en O en les dispersant le long d'un certain cercle, 
et l'on possède alors, en {pielquc sorte, le germe d'une fonction bien définie. 

Ou \oit, pour conclure, que la méthode si intéressante de M. Borel invile à 
elierelier, par d'autres voies, des procédés de prolongement qui permettent de 
rappli([uer autrement qu'à des exemples tout à fait particuliers. C'est à quoi nous 
amènent sans peine les méthodes exposées dans les Chaj)itres précédents. 

56. A la série numéri(|ue divergente 



j'attache la série entière 



Supposons d'abord que celle-ci ait un rayon de convergence lini. Soit J{z) la 
fonction qu'elle définit. Admettons, pour fixer les idées, que f{z) existe dans 
loul le plan et soit holomorphc, sauf en des points singuliers isolés. A la série 
numérique donnée, je fais correspondre la valeur /(i), unique ou non suivant 
i\\\c f{z) est uniforme ou non, finie ou non suivant que z ^= i est ou non un point 

singulier de /{z) ('). Cela fait, je dis que la série ^a„ est somniable et que sa 



somme est f{\). 

Les méthodes exposées plus haut, permettant de mettre /*( 3) sous forme d'une 
intégrale définie et ainsi d'étudier cette fonction dans tout le plan, établissent des 
caractères de sommahillté des séries. 

Il est visible que, si la série est convergente, la somme que nous lui attribuons 
par le procédé que je viens de décrire coïncide avec la somme ordinaire ; la notion 
de série sommablc constitue donc une généralisation légitime de la notion de 
série convergente. 

Les propriétés bien connues du jirolongement montrent en outre que, si l'on 
suit plusieurs procédés de sommation différents pour la même série, on retombe 

P) Il peut se faire que/(i) reste fini bien que z = 1 soit un point singulier. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉKIMES, ETC. /\\ l 

loujours sur la même somme; en eiïet, une série entière ne définit quune seule 
fonction, comme l'a montré Weierslrass. La somme attachée à une série som- 
mable est donc un véritable invariant par rapport aux procédés de calcul qui 
peuvent la fournir. 

Parmi toutes les manières de mettre /"(;:) sous forme d'intégrale définie, il y a 
évidemment celle de M. Borel, dont on retrouve ainsi comme cas particulier le 
procédé de sommation. On peut remarquer que nos méthodes établissent, en 
somme, des caractères de sommabilité (en prenant ce tnol au sens de M. Borel) (' ). 
Mais il n'y a pas avantage ensuite à recourir au procédé de M. Borel, puisque ces 
mêmes théorèmes donnent immédiatement le prolongement cherché. En outre, la 
méthode que je propose offre cette propriété, qui peut être précieuse, de se prêter 
à des variations innombrables suivant les besoins du calculateur. 

Nous arrivons aussi à généraliser l'idée de limite, la quantité y.,i avant une 

limite généralisée si la série 2^^'^" — ^«-i) ^st sonimable. 

(I 
Les divers procédés de sommation que l'on peut appliquer à la même série con- 
duisent à la même fonction, mais les régions de sommabilité peuvent être dilTé- 
rentes. Ainsi l'on a 



I I r^ e-^- , I r' 

— = -— I —= e-^ dxz=^ — I 



dy 



V/r('-r) '--7 



La première intégrale n'est valable que si la partie réelle de z est inférieure à i , 
tandis que la seconde est valable pour tout le plan. 

On remarquera que l'emploi des intégrales définies étudiées plus haut fournil 
en général une région de sommabilité aussi grande que possible, ce que ne donne 
pas directement l'emploi des intégrales à limites infinies telles que celles de 
M. Borel. En outre, nous arrivons à trouver, à partir d'une série de Tajlor, les 
diverses branches de la fonction envisagée, ainsi que les points singuliers de 
celle-ci et leur nature. Possédant une expression analytique de /'(^) valable pour 
tout le plan, nous avons aussi le moyen de calculer numériquement celte fonc- 
tion en tout point où elle est régulière. <( 11 me reste, disait INL Bord à la fin de 
son premier Mémoire sur les séries divergentes {-^, à (''metire le vœu iK' voir l.i 

(') En cfTct, la fonction entière associée à une fonction (^tiidiahlc par les mt^thodcs des 
Cliapilics picoé(lonl>; pont <"'lrc mise, clic aussi, sous fornio (i'iiil('i;ral(' dilinie f tollo qui' 

1 <ç(a")f"' V/.r j (M l'on sait aloi- eu calculer la valeur as\ nipti>lique. on sorte que l'on par- 
•-0 / 

vient à discuter riul(';,'ralc de M. IJorel. 
(*) Journal de Mat/icmatiqiics, i8()G. 



/jl2 K. LE ROY. 

nolK^n do somme s'élcndre aux séries divcrgcnles dans lesquelles S„ augmente 
iiidt'linimenl par valeurs de même signe el pour lesquelles noire méthode ne 
donne aucun résultai. Kicn ne prouve qu'il soit impossible de parvenir à ces 
sommes el de jelcr ainsi un jour tout nouveau sur l'élude des fonctions analy- 
tiques cl, en particulier, des fonctions non uniformes. » C'est pour répondre à 
ce (icsidcraluw (jue j"ai entrepris les présentes recherches; on voit que notre 
notion de sommabililé s'étend à bien des cas laissés de côté par M. Borel. 

Les séries sommables peuvent être maniées dans le calcul comme si elles 
étaient convergentes, par exemple au point de vue de l'inlégration ou de la déri- 
vation terme à terme. 

Il faut remarquer qu'une série divergente sommable numérique est toujours 
calculable par un procédé (pii ne dépend que de la valeur des termes successifs 

delà série donnée. Soit, en effet, /, a,, celle série. Si l'oii_se reporte au Clia- 



pitre 11 du présent Mémoire, on voit que la somme de notre série est la limite de 
l'expression 

Zà r(n + i) """' 



lorsque / tend vers i par valeurs réelles croissantes. Il n'y a d'exception que si la 
droite joignant l'origine au point i passe par un point singulier de la fonction 



ce dernier point étant en outre compris entre l'origine et le point i. 

Si a„ est une fonction analytique d'une variable complexe u holomorphe quel 
que soit n tant que u reste dans un certain domaine T et si l'expression 

Aà Y{n-\-i) "^ ' 



tend uniformément vers une limite dans les mêmes conditions, il est clair que 
cette limite sera une fonction analytique de u holomorphe dans T. 
Voici un exemple. Prenons la série trigonomélrique 



2 



y...e' 



el supposons que a„ soit de la forme 

b„ I o{x)x" dx. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DEFLNIES, ETC. '[li 

à 

y"^ba tendant vers zéro avec -• La série en question peut être divergente. Con- 
sidérons alors la fonction associée 



convergente pour | :; | ■< i . On a 

/(.)=|'o(.r)G(^-l^,)rfA 

G désignant une fonction entière. D'où 

/(,)=f\.(a:)G[j-^)d.. 

On voit donc que : 

j° Notre série trigonométrique est sommahle; 

2° Sa somme est une fonction analytique de u, admettant la période it. et 

régulière sur toute parallèle à l'axe imaginaire du plan u dont l'abscisse n'est pas 

égale à l'un des nombres a/c 7t (A- entier) ; 

3° Les séries obtenues en dérivant terme à terme la série donnée sont encore 

sommables et ont pour sommes respectivement les dérivées de la somme de la 

série primitive- 
Bref nous pouvons faire complètement l'étude de la série en question et il en 

sera de même pour toute série trigonométrique dont les coefficients auront l'une 

des formes envisagées au Chapitre IV. 

57. Passons à l'examen des séries entières dont le rayon de convergence est 
nul. L'observation des faits analytiques naturels nous apprend qu'en bien des cir- 
constances une fonction précise doit être regardée, à l'exclusion de toute 
autre, comme déjlnie par un tel développement . Un calcul foiincl (]UfKi)iu|iu'. 
exécuté sur la série divergente, correspond alors à un calcul ^cmblable portant sui' 
la fonction associée. Les écrits des anciens géomètres abondent en exemples de 
pareils phénomènes. Mais comment régulariser cet aperçu? La résolution du pro- 
blème des moments nous a fourni une prcniirri; nu'lbode basi'c sui- l'oinpliu de 
certaines fractions continues. Toutefois il y a lieu d'insister davantage. D'ailleurs, 
fidèle à l'esprit dans lequel j'ai commencé ce Mémoire, je ne m'occuperai pas 
d'être complet sur la nouvelle question que j'aborde ainsi : mou but sera surtout 
de découvrir des cas bien nets cpie l'on puisse traiter pr.iti(|uouuMit. 

Soit 



(0 y. 






\\.\ r. i.r UOY. 

im (l('\clo|>pcinenl lajloricn (|iii iTcsl coiivcrj^ciil que pour z ~- o. Im;iginons que 
Ion iiil mis a„ sous la l'ornu' 

<Xn—(hi 9(.r).r'' f/.r; 

* Il 

la st'ric 

u 

ayant un cercle de convergence fini cl définissant une fonction F(c) qui n'admet 
pas son cercle de convergence comme coupure. Je pose 

(3) /{-)=[ 9(-^)F(=-^)^-^ 

et je conviens de dire que fa série divergente (i) est sommable et a pour 
somme la fonction /(-)• 

Une discussion s'impose. Je supposerai d'abord F(:;) holomorphe à l'intérieur 
d'iiii certain angle ajaiit son sommet au point :; = o et s'étendant jusqu'à l'infini. 
Je supposerai, en outre, que F(^) se comporte, pour les valeurs de z dont le mo- 
dule est très grand et dont l'argument reste compris entre les deux limites qui 
définissent l'angle précédent, de telle façon que les intégrales 



/' 



o{x)'^'^''''{zx)xi' dx 



soient absolument et uniformément convergentes, ¥^p'> désignant la dérivée 
d'ordre /> de F et ; restant dans Vangle de régularité défini plus haut. Si ces 
conditions sont remplies, on voit aisément que/(^) est une fonction analylif/uc 
de z holomorphe dans l'angle considéré. 

Remarquons que /(:;) admet le point z ■=■ o comme point singulier. En utili- 
sant une expression introduite par M, Borel (*), on dira (jue f{z) est une fonc- 
tion d'espèce (A). Cela signifie, comme on sait, que les quantités 

tendent respectivement vers les coefficicnls -Xp quand :; tend vers zéro en suivant 
un chemin contenu dans l'angle d'holomorphisme. 

Un lien manifeste existe entre la méthode que je viens de rappeler et le pro- 
blème des moments. D'autre part, les procédés de prolongement analytique 



( ') Mémoire sur les séries divcr génies {Annales de l'Ecole Normale supérieure, 18991 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFÎMES, ETC. ^'^ 

étudiés au Chapitre IV trouvent ici leur emploi en permettant de reconnaître 
pour des cas étendus que F(s) satisfait aux conditions prescrites. Il est bon de 
noter une fois de plus combien sont étroitement connexes ces trois problèmes des 
séries divergentes, du prolongement analytique et de l'inversion des inté- 
grales définies. 

Plusieurs fonctions ^"(5) correspondent à la même série divergente (i). Cela 
tient à ce que l'on peut, en général, décomposer de plusieurs façons différentes le 
coefficient a„ sous la forme indiquée et aussi à ce que le problème des moments 
n'admet pas une solution unique. Bref, il y a des fonctions (A) ( ' ) pour lesquelles 
tous les v.,i sont nuls. Telle est, par exemple, la fonction 



(4) / e-y'^<s\n\Jx 

'y n 



— dx 



De semblables fonctions jouent, dans la sommation des séries divergentes, le 
même rôle que les constantes arbitraires dans une intégration. On pourrait en 
chercher la forme générale. On pourrait également chercher de quelle manière 
peuvent être modifiées les fonctions cp et F sans que l'intégrale (3) cesse de repré- 
senter la même fonction/*. L'intégration par parties et le changement de variable 
fournirait, à cet égard, des théorèmes simples sur lesquels je n'insisterai pas. En 
se bornant aux solutions du problème des moments obtenues dans le Chapitre VI, 
on écarte toutes les fonctions telles que (4)- H ne reste donc que deux questions 
à examiner : Peut-on faire un choix entre les diverses fonctions f{z) qui cor- 
respondent à une même série (1)? Quel rôle sont susceptibles de jouer dans 
le calcul les fonctions ainsi choisies? 

On a déjà donné deux réponses différentes à la première question. Il faut d.i il- 
leurs remarquer que, si les deux méthodes qui en découlent sont à la fois appli- 
cables à une même série (i), elles conduisent à la même fonction /( ;). 

La solution de Stielijes consiste à poser systématiquement 

a„ — I , 
c'est-à-dire 

Je \\v m'en occuperai plus. 

J-,a solution de M. Borel consiste, au contraire, à laisser F (juolri>U(|iie. mais 

à poser 

9(.r) =t'-^ 

C'est cette solution (|ue je vais éludicr, en la niodilianl un peu. 



(') J'ctciuls un |)cu le sens ilomu' par INI. Bord à cette locution. 



1'^^ K. I.K F\OY. 

Si)il la S( rio 



(|iic nous siip|)oserons complète, ou du moins préalablement rendue telle par un 
cliangcnicnr do variable z' = zf (q entier). Hornons-nous au cas où a„ est de la 
lorinc 

a„ — r{pn -+- i)a„, 

p dési-^nanl un nombre i)osilif cl a,, le coefficient général d'une fonction F(;:) 
remplissant les conditions énumérées plus haut ('). Ce cas est celui que l'on ren- 
contre le plus souvent dans la pralicpic. Il est clair que, les a.,, étant donnés, on ne 
peut jamais ni les décomposer de deux manières dilTérenles de la façon que je 
viens do dire, ni les mettre sous la forme voulue pour deux valeurs distinctes 
de p; cela résulte immédiatement de la considération de la valeur asjmptotique 

de la fonction V et de ce fait que (a,,)" doit avoir l'unité pour limite supérieure 
quand n devient infini. 
Cela posé, on a 



1 1 



d'où 



o 



' e-^''.v'' x"dx', 



°^ , /-- '1-1 

/(c) =^ «„:;" = - / e-^'xP V{zx)dx. 

Aous avons là un principe de choix permetlanl d'associer à la série diver- 
enle (i) une fonction /"(s) bien déterminée et unique. Pour/? = i, on retrouve 
la méthode de sommotion exponentielle de M. Borel. 

Dans bien des cas, on pourra sommer la série (i) sans faire usage de la marche 
régulière que je viens de décrire. Il arrivera souvent qu'on obtienne toujours la 
même somme. Mais ce sera un pointa établir directement dans chaque cas. 

o8. On peut étendre au cas général que nous envisageons les théorèmes dé- 
montrés par M. Borel pour/? = i : je vais l'indiquer brièvenicnt. 

.J'introduirai la notion de série entière d'ordre p : cela signifiera une série 

> 'j.,,z" pour liHjucllc y.i, sera égal à V {pn -f- i)«„, a„ étant le coefficient général 

d'un»; série entière dont le rajon do convergence est dilloront do zéro et de 
I inliiii. 



CM Des généralisations s'oiïrent d'elles-mêmes : leur éliidc conduirait à classer (autant 
que faire se peut) les types de divergence. 



SUR LES SKRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. /| 1 7 

On élablit facilement les propositions suivantes : 

1° Une même série ne peut pas être à la fois de deux ordres difTérenls; 

.>/^ Une série peut n'êlre d'aucun ordre assignable; 

.)" Une série d'ordre o a un cercle de convergence fini; 

4" Une série d'ordre négatif définit une fonction entière pour les séries 

d'ordre né"[atif, on pose a,, = -rr- — ; 

^ ' * l { pn 4- 1 ) J 

5" Une série d'ordre positif est toujours divergente. 

On voit (jue l'ordre /) mesure en quelque façon le degré de divergence de la 
série. 

Je m'occuperai surtout des séries d'ordre positif. Une pareille série divergenle 
sera dite somm<(blp clans un angle a issu de V origine si le procédé régulier de 
sommation indiqué au n" 57 lui fait correspondre une fonction holomorphe à l'in- 
térieur de l'angle a dont le sommet est en O et dont l'ouverture peut varier 
de o à 211. 

Je me propose de démontrer deux théorèmes : 

1° Les séries divergentes somniablcs sont maniables dans le calcul comme 
des séries convergentes; 

2" // suffit qu'une série divergente sommable x'érifie formellement une 
équation différentielle algébrique pour définir une intégrale effective de 
cette équation. 

Quelques remarques nous conduiront au but. 
Soit d'abord 

/-•» go 

^ ' ^ p I ^Y(/)n -f-i) 

Si tous les (x„ sont nuls, /(s) est identiquement nul. Réciproquement, si/\^z) 
est une fonction d'espèce (A) et si toutes ses dérivées /'^'(:;) tendent vers zéro 
quand z tend vers zéro en restant dans l'angle d'holomorphisme, /{z) est iden- 
tiquement nul, ainsi que tous les a„. Donc une série sommable d'ordre p ne 
peut représenter zéro sans être identiquentent nulle et, par suite, dru.v séries 
d'ordre p somma blés dans le même angle ne peuvent représenter la nirrne 
fonction que si elles sont identiques. 

Il est clair aussi qu'//w<? combinaison linéaire (/ueleorx/ue à coefficients con- 
stants (le séries d' un mé/ne ordre p somniablcs dans un même ani^lc est encore 
une série sommable d'ordre p. La somme de la .NÔric finale s'exprime à l'aitle tics 
sommes partielles, comme le coefficienl général de la série (inale à laidedes coef- 
Hcients de même rang des séries couïbinées. La même prt)posilion s'étend d'ail- 
leurs à une combinaison linéaire de séries sommables d Ordres dinércnls, |>oni\ii 
Fac. de T., j" S., II. .V5 



1 I s K. I.i: KOY. 

(|ii«' Ion j)iiissr rrgardfi' (t'IIfS-ci coiiiimc de luriiio ordre (en iiilioduisaiil an 
besoin sons \o sij;no / ilos fonclions fnlièio.s |, sans (|U(^ la soniniahililr cesse de 

snhsisler j)onr les séries en (jneslion dans nn nirine ani;le y. : l'ordre final est alors 
l'ordre niaxiniun» des séries combinées. 

Cela posé, j'ajipelle frrtns/orn)a(ion de M . Uudmiuird la h-ansfornialion qui 

fail eorres|)ondre la s('rie> a„ j„ ::" anx séries V 7.,, ;" elV[i,/v". Si les séries 

Il (1 

cowposanles sont so/>i/>iii/des dans un /nè/ne angle et respeeliK-ement d'ordres jf 
et (/ , la transfornialion de M. Iladamard donnera naissanee à une série ré- 
sultante qui sera encore sonunahie et d'ordre p -\- q. (^cla résulte de ce que 

y-n II, V ( i>n 4- I ) r ( t/n -H r ) c/ „l)„ 

= r [( /> -r- 7 ) // -t- I ] 15 ( /'// - i- I , '/Il -(- I ) [( /v -+- y) Il -I- I ] a„ h„ 

el de ce que, d'après le théorème de INI. Iladamard, la série 

^ B (/j/i -M , r/// -+- I ) [(/> -t- 7) « -\- I ] a„ b„ z" 


est prolongeable si les séries ^«„ c-" el ^^b,iZ" le sont elles-mêmes, comme cela 



a lieu par hypollièse ('). 

On étendrait facilement ce théorème comme au Chapitre V. 

]\ous pouvons toujours supposer que la région de sommabilité de la série 

7 7.,, z" contient les points correspondant à des valeurs réelles et positives de z. 

11 sufllt, pour obtenir ce résultat, de faire au besoin d'abord une substitution 
(z, e'^'z), o) étant convenablement choisi. On peut alors écrire, après un change- 
ment de variable évident, 

(') Il faut se rappeler qu'on a 

B(pn -\-i,gn -\- 1) — j xi"'{i — x )i" c/j-, 

en sorte qu'on |)eul appliquer les métliodcs du Cliapilre IV à réunie de la série 

y lî( /;// • I . y/i -'- r )c". 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DEFINIES, ETC. 



4"î) 



avec 






') 



Olle lorinule, iininédialement élaljlie pour z réel et positif, s'étend d'ailleurs 
sans dlfficullé au cas général. 

De là peut se déduire, en suivant une marche tout à fait semblable à celle que 
M. Borel indique pour le cas de /? =^ i , le théorème suivant : 

/itani données deux séries d'ordre p sommaOles dans le même angle, leur 
produit effectué comme si elles étaient convergentes est encore une série soni- 
niable du même ordre, dont la valeur est égale au produit des valeurs des 
deux séries facteurs. 

Un cas particulier intéressant est celui où l'une des deux séries données se 
réduit à un poljnome entier en z : l'ordre ne varie pas par le fait de la multipli- 
cation, la sommabilité subsiste, la somme est multipliée par le polynôme envisagé. 

En effet, posons 



= .fi'. 



il vient 






Le raisonnement de M. Borel, relatif au cas de /> = i , peut alors être refait ic 
sans modification notable ( ' ). 

Je me bornerai à développer tout au long comme exemple la démonstration du 
théorème suivant : 

Etant donnée une série sommahle d'ordre />, la série dérivée est encore 
sommable et du même ordre et sa somme est la dérivée de la somme de la 
série primitive. 

On a, eu effet, 

I i . /'" -- 



^"'■ 



Une intégration par |)arli('s donix 
/ 



r («•'■) ^.^/' 



!•(.•/•).• 



■'.. dv 



'{z)^zi- I vrV\,r)c ' .^^ 



(') Cf. MoHKi.. Mémoire sur les scrUs diwri^cntcs. p. y'-*).i {Annatfs de l'/'cole .\'or- 
nidlt' su/x'rii'tirr. i8(ji)). 



\-20 É. l.r. IlOY. 

c'csi-ù-dire .'*^ 

/' ^ \ " / 

Or nV\i/) corrospoiul à z/'(z) oomiuc F(//) à /{z). D'où h» conclusion 
iiniioncée. 

De loiitos ces propositions réunies, on lire inimédiatemcnl le lliéorèmc sni- 
\anl : 

.S"/ /'()// (i un polynôme entier par rapport à une variable c, à une série 
sonutiahle > y-n^" <'( à ses dérivées jusqu'à un certain ordre, ce polynôme est 

lui-même une série sommahle quon peut former en ejfecluanl tous les cal- 
culs comme si les séries maniées étaient convergentes. 

La somme de la série finale esl d'ailleurs composée avec la somme de la série 
donnée comme le polynôme lui-même l'esl avec celle-ci. Si donc la série finale 
est identiquement nulle, c'est-à-dire si la série donnée vérifie formellement 
l'équation différentielle obtenue en égalant le polynôme à zéro, c'est que la 
somme de la série donnée est effectivement une intégrale de cette équation. 

Ces dernières propositions montrent bien que l'attribution de la somme f{z) à 

la série divergente N a,, c", par le procédé du n° 57, correspond en fait à une 



oc 

réalité. La série \ a«-" représente, sans ambiguïté, la fonction f{z) qui lui est 



attachée. Le choix de la fonction f{z) pour être associée à la série ^ ''J-nZ" n"a 



rien d'arbitraire, mais, au contraire, il s'impose impérieusement. 

Ces résultats divers ne sont pas très nouveaux. M. Borel en avait déjà exposé 
le principal. Mais il s'était borné au cas de /> = i . Je devais reprendre la question 
rapidement pour en généraliser la solution. 

•le vais maintenant établir des caractères de sommabilité qui permettent de 
manier pratiquement les séries divergentes. Auparavant, je citerai quelques 
exemples relatifs à des séries classiques. 

.")9. Soit la série 



OD a 



dx. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. /,2I 

C'est une fonction holoniorphe dans tout le plan, à l'exception des points o et oc. 
La |)artie positive de l'axe réel est en apparence une coupure : cela tient à ce que 
/{z) n'est pas uniforme. Ses diverses branches se déduisent de la branche princi- 
pale par addition du terme 

1 
/ • ' ~; 

'IKTZl - e , 



on voit que, pour ce terme additif, :; ^ o est un point singulier essentiel; pour 
la branche princi|)ale, au contraire, ^ = o est un point singulier de l'espèce (A), 
c'est-à-dire quey(:;) et ses dérivées y restent finies, sauf peut-être si z tend vers 
zéro par un chemin qui rencontre l'axe réel du coté positif. 

On connaît le rôle que joue f{z) dans la théorie de logarithme intégral 

On sait aussi que -fiz) ^^^ '* valeur de la fraction continue de Laguerre. 

60. Un des usages auxquels on peut employer la série (i) consiste à trouver 
une fonction génératrice des quantités ol„. Ici, il n'y a pas de discussion spéciale 
à faire, tous les procédés de sommation sont également bons. 

Cherchons, par exemple, une fonction génératrice des nombres de Bernoulli B„, 
sous la forme 




On peut donc poser 






c^est-à-dire 

D'autre part, si Ton suit le procédé régulier de sommalion, on doit faire /)=i 
et l'on trouve 



\22 K. I.K nOY. 

^{x) dcsijjnaiit la foiulion de Ivicnuuin 

^ .V) - . 4- - -|_. ...f. _ 

... .,. ^,. 

il l)Ù 

l ar siiilc, on pcul poser 






En ccrivanl le second membre sous forme d'une série d'intégrales, et en ciian- 
ijcant X en px dans le terme général de cette série, il vient 






En intégrant par parties, on constate que 

l)(^nc les deux procédés de sommation conduisent ici au même résultat : c'est ta 
i/n fait très fréquent. 

Remarquons que, pour calculer /'2(^) régulièrement, nous aurions dû poser 
;-=; z' afin de rendre la série complète. Il aurait fallu prendre alors p ■=-.'2.. Mais 
on aurait retrouvé le même résultat, à condition de faire le changement de va- 
riable A'- ^= x' . C'est là un fait général, comme on le voit sans peine. 

Ea fonction f{z) trouvée est d'ailleurs bien une fonction génératrice des 13„, 
puisque c'est une fonction (A) ('). Nous avions déjà fait un raisonnement sem- 
blable à pr()|)os de la fonction génératrice des polvnomes P//(x) étudiés plus 
II. ml. 



Gl. Soil maintenant la série de Slirling 

^^ ' îniin — i) z'" 



Le procédé de sommation qui nous a donné tout à l'heure /") (;;) fournit ici, 



comme fonction atlacliée à la série de Stirling, l'intégrale 



A-) = }:f ^7'""^''''"S;r^'^-'^ 



(' ) Cf. n" .'iO. 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, ETC. 
on en déduit, en intégrant par parties, 

(Ix 



^.23 



d'où 



f{z) — iz\ L , , , 

1 '^ €"''■ 

/' = ' 



/(.-)= 2. 



[xTi-p^Z'-^ 



après une transformation 1res simple. Toutes ces formes équivalentes de f{z) 
correspondent à des procédés de sommation différents que Ton définirait aisé- 
ment. 

D'autre pari, le procédé de sommation régulier donne ici 



/(>^) = 






i-pz 



arc ta 



ng L ( I + , ;f . ., ) d.v. 



En intégrant par parties, il vient 

f{z) = - / e— 'V - arc tang dx. 



C'est la même chose que 



/(-^) 



N e-i'^ arc tang -^^^ dx. 



1 



comme on le voit en changeant x en px dans chaque terme de la série obtenue. 

Mais 

Kl 

I 



e-px 






- aie lang — — dx. 

I 1T.Z 



On retrouve bien la même fonction /(-)• 

Les diverses expressions que nos procédés de somuialion louruissont pour 1.» 
fonction /(z), attachée à la série de Slirling, montrent que l'on a 



/{z)=.\A\z) 



(^-^i^^ 



h. I.^.^, 



\'1\ 



E. I.r. KO Y 



lomnio il lt> fiiUail. []'oir. |->nr oxoinplf, \c Corns lif/ios^rttp/iir de IM. Iforniito, 
\l\ ' I. (•(•() H. 1 

I);iii-< If^ il(Mi\ (IrrniiM's exemples de séries soinmaMcs, la eotipure esl Taxe irna- 
:L:iiiaiif IdiiI ciitirr. I .a réi;i(iM de soinniahdil é esl donc codsI il née |)ai' nue molli»' 
du plan t^z). l-.es inl«''';rales ohleiiiies sont (railleurs les unes |)aires, les atilres 
im|>aires, par rapport à r. 

I)î2. ('i(>nsid('>rons enc()i(> les in Ira; rates de Frcsiicl , ([ue Ton reneonlre en 
()ptique dans la lliéorie de la dillVaclion 



l = / cos ;' (•- dVy 
J = / sin - e- ih-, 
(laucliv a montré (pie I on pon\ail poser 



(■) 



I =_ _^M sin- 

2 i 



r. , 

N ces- Z'y 

2 



I 77 7Î 

J = M COS- :■-— N sin - z-, 



M et N étanl certaines fondions de z. Ces fonctions, si l'on essaye de les or- 
donner par rapport aux puissances de -> donnent les développements divergents 
suivants : 



00 

N =r^(-.)".i.3.5...(4/^-.) ^,„J^,„^3 ' 

fpiOn (l('-signe sous le nom de séries de Caiich) . Or si l'on lient eom|)lc de la 

lorniiile 

1.3.5. ..(2/7 — 1) _ ^ f 



2f 



v/^ 



r-^'.r'/'c/.r. 



on trouve, en faisant successivement p = in dans la relation piéc(''denle et dans 
celle fpie Ton en déduit en changeant p en p -\- \ ^ <[ne les s('-iies de (laueliv sont 
tr('s facilement sommahles 

dx 






SLK LRS SERIES DIVERCiENTE S ET LES FONCTIONS DEFINIES, ETC. 



'|23 



Les deux fonctions ainsi associées aux séries de Cauclij sont iioloniorphcs, mais 
admettent comme coupures (ajjparenles) les bissectrices du système des a\cs du 
plan(::). 

Je ne nrarrèterai pas à \érifier (pie le procédé régulier de suninialiou donne ici 
le même résultat. Mais, en supjiosant ;; réel, je vais l'aire voir que les fonctions 
([ue nous venons de déterminer permettent de calculer efl'ectivemcnt les intégrales 
de Fi'csnel. 

Dérivons les lormules ( i) par rapport à z. On a 



(^0 



■K 

ces - 

2 



M' si 11 -^ Z- — N'cos -;:'-+ -;( M cos - z' -t- .\ sin - z- ], 



in ■ :;'-^ — M'cos - z"- — N' sin - z- -\- ~z{ M sin - z- —\ cos - c- 

2 2 2 \ 2 2 ^ 

Il suffit de vérifier ces formules (2), ou, ce cpii revient au même, les formules 



(3) 



TTCN -I- M' = O, 

TT-M— iN"' = J, 



(|ui n'en sont qu'une combinaison linéaire. 
Or, j)OSons 



\2X zz-. \fT.Zt 



dans les intégrales M et ]N. Il vient 



M 



T.J„ . + ;■ 



I^a vérilication est alors imiuédiale. 

()!i. l'renons, pour lerniiner, un exemple plus général, où iuui> aurons à nous 

servir de nos méthodes de prolongemenl. 

Soit 

a„ — \[^pn -\- i)rt„, 

avec 



('„=f>„l VU'^.»"'0'» 



lit qiiaiililé IA"'/;„|" tciitlanl vers zéro eu même leniits (iiie • La série associée 
Jùir. (le T.. y S , 11. 



tK\ 



4-<J K. Li: noY. 

à V a,, z" «>s| 



• I 

(i tlt-sii^iiiiiil iiiu- loiiclioM oiilirro. Si :; ncsL pas réel et positif, .r varinnl de o 
à -(- X, colle fonclion esl liolomorjihe : craillcurs, quand z.r dcvicnl infini, ce ne 
peut «■Ire (pi'avcc un ari;iinient non nul cl alors la fonclion associée reste finie. 
On a donc 



i""="=/3/ 



La srri'e rtuf/iéc est sonirnnhlc : sa somme est une fonclioti holomorjthe 
poil)- toute ïaleur de z-, sauf peut-être pour z réel et positif . 

Des conclusions semblables subsistent cvidcmnient si F, au lieu d'être de la 
forme indiquée, esl d'une façon générale étudiable par nos procédés de prolon- 
}i;emenl. jXous avons ainsi des cas très étendus où l'on peut faire correspondre 
une fonction bien définie à une série entière dont le rayon de convergence 
est nul. Cela résulte, comme on le constate aisément, de ce fait que les diverses 
séries dont nous avons appris, dans les Chapitres précédents, à efiecluer le pro- 
longement restent finies ou au plus comparables à une puissance de z pour les 
valeurs de z dont le module est très grand et l'argument différent de certaines 
valeurs critiques. 

Co^cLusIOiN iiKALE. — Unc série de Taylor dont le cercle de convergence 
est évanouissant définit, sous de tris larges conditions relatives à la nature 
analytique pour n infi/n de son coefficient général 'j.,,, une fonction holo- 
worplie à r intérieur d'un ou plusieurs angles issus de O, et cela par l'em- 
j/ltii il' un j)i oeédé réi^ulier de sonimalion qui fait coirespondre éi une série 
donnée une fonction bien détern^inéc et unique. 

Je n'insisterai pas sur les conditions précises trouvées j)lus liant pour que a,, 
soit de lune des fornies visées ici. 

(il. .Il' di>. ])(iiii' Icrniinrr, (pic nos séries sommabics aj)parli(n nent à la cali'- 
gorie des séries iisyinplotiques ('Indiées déjà par M. l'oincaré. 
Soil. en cdel, une série divergente 






( --./• ) dx, 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DEFINIES, ETC. 



V-i? 



avec 

Posons 
il vient 

en écrivant 



i/o 



9„ = ao-H y-i 



f. 






^0 '■ '-y 

Pourvu que :; ne soit pas réel et positif, on voit que |F,(;;j::)l reste inférieur à un 

nombre fixe assignable, quand x varie de o à + oc. Donc le rapport - — -^ tend 

iinij'orniément vers zéro en même temps que z. C'est \n définition nit'-nie 
donnée par M. Poincaré des séries asjmplotiques. 

La même conclusion subsiste évidemment quel que suit le procédé de som- 
mation adopté. 

Les règles de calcul des séries asymptotiques démontrées par M. Poincaré au 
Chapitre 1 du Tome 11 des Méthodes nouvelles en Mécanique céleste sont donc 
toutes applicables à nos séries sommables. 

bln [)articulier, revenons à l'exemple cité plus haut. Supposons que z iiil une 
valeur réelle et négative. Supposons, en outre, que la fonction '}(j') soit positive 
dans l'intervalle (o, i), en sorte que tous les coefficients a,i soient positifs. 

On vérifie aisément alors que 



u ou 



L'inégalité 



F, (-x)j < «„_H,; 



y — ?» 
-«+1 



? — 9" I < «/'- 



montre que, si l'on s'arrête à un certain terme de la série ilivergenlc donnc'c pour 
l évaluation rapprochée de », on commet une erreur moindre ipie la \aleur 
absolue du jjrenner terme négligé. Si les termes commencent p;ii- •!••( roilrc pour 
croître ensuite, il y a iiili lét à s'arrèlcr inunédialcinciil a\aiil le plus pelil lerrnc: 
1 erreur est alors mininimii et, (railleur^, daulaul [ilus petite (jue | c- 1 est lui- 
même plus petit. (]elle circousIaiK^' avait (h'jà été signalée par Cauehv à propos 
(le la série de Slirling; on soit (|u ClIe est très gém-rale. C'est sur une rem anpie 
de ce genre (pie lOii peut liaser un emploi It'gitime des si'-ries tlixeigente» dans le 
(-aïeul numerupie, notamment en Astronomie ou en lMi\>i(pie. 



'i-8 



E. i.r. p.ov. 



.1 ajotilr i|ii(' I(N conclii-ioiis di- (■(• |);irai;i'ii|)Ii(> siil)si>I('iil nnilatis nnilnndis 
SI 1' (/\ au lirii cl rlrr de la lormc jjiisc ici cominc cMMiiidc», est de ruiic (iiicl- 
conqiie df-^ aiilrr-; formes éliidices au ("Jiapilrc l\ . 

(),"). I- iui>>ons par un(> dcruirrc r(Mnar(|ur, «|iio jr ino Cdutcnlorai (Micm-c d'rlahlir 
sui' un «'MMnpIc. 
.Soil 

o>.„ — n\ f o{y)y"(if; 

"0 

(I ou 

ATais. d aulrc pari, en cniployanl le procédé de sommation de Slielljes, ou 
liouve 



on a 



et 



avec 



r,(x)= / -o{Y)e ydy. 



On voit que le procédé de sommation de Slielljes el celai de M. Dovcl con- 
duisent ici au même résultat. C'esl là un fail qu'il sérail aisé de prouver en 



général. 



IX. — CoA'CLlSIO: 



G(). Il esl bon de résumer en quelques mots les principaux résultats acquis 
dans le présent Travail el de rappeler, avanl de finir, le but que nous nous pro- 
posions d altcindic. 

.lai développé, dans ce Mémoire, une méthode qui permet, pour des cas 
«'•tendus, l'élude complète d'une fonction définie par une série de Tavlor ou par 
d'autres s('ries analogues. .T'arrive ainsi, grâce à l'emjiloi de certaines intégrales 
définies, d'ime pari à ellectuer prati(piemenl le proiongemenl analvli(juc d'un 
développemeul lavlorieii (pii admet un cercle de convergence (ini et, d autre ])arl, 
à donner un sens à certaines séries entières toujours divergentes. 

L idée (pii m'a dirigé dans ces recherches est la suivante : une intégrale de- 



SUR LES SÉRIES DIVERGENTES ET LES FONCTIONS DÉFINIES, FTC. |2() 

finie exl une expression beaucoup plus simple qu une série, du moins en ce 
qui concerne la représenlah'on de certaines fondions usuelles, du type de celles 
qu'on renconlre le |)lus fréquemment dans les appiicalions. 

Plusieurs des rc'suilats que j'ai obtenus ont été publiés déjà par MM. Bore! 
et Leau dans des Mémoires qui n'avaient ])as encore paru au moment où mes 
recherches étaient terminées. IMais, en ce qui concerne l'étude des fonctions 
données parleur dévelop[)ement tavlorien, la méthode que je propose me semble 
fournir plus de renseignements que celle dont Al. I.eau s'est servi. En outre, elle 
se prête à une foule d'autres applications, concernant en particulier la théorie des 
séries divergentes. Sur ce dernier point, j'ai cherché surtout à compléter les Ira- 
vaux récents en découvrant des cas précis et suffisamment g(''néraux, où Ton 
puisse utiliser, dans la prali(|ue, certaines méthodes de sommation dues à Slielljes 
et à M. Borel. 

J'ai été conduit à distinguer certains ensembles dénombrables de coefficienls -/„ 
jouissant de la double propriété suivante : 

i" %n est une fonction analytique de n = ze'^'^ holomorjihe pour c>>p„ 
cl j (0 I «< (Oo, po et (ij„ désignant deux constantes j)ositives. 

•'>-° — — ^ tend vers zéro avec -> quel que soit (o, pourvu rpie l'on ait |(")l <C ^'^o- 

Pour me borner ici au cas le |)lus simple, je sup|)Oserai 

y.„ = C,{n) f o{x)x"dx, 



^^{n) étant une fonction entière d'ordre inférieur à i. On peut idors (Mioncer les 
théorèmes suivants : 

TuKouiiMi: I. — L<t fonction \ a„3" est itolomorplic dans tout d' pl<in, sduf' 

pcut-êlre pour z réel el supérieur à i : elle est d'ailleurs lepréscntalde dans 
fou/ le plan par une certaine intégrale définie cjui fournit , à partir de la 
séfir donnée, les élé/ne/its d'une étude complète de l<( fonction ctnisagéc. 

se 

.... , ► ,, z" [n entier ('/ iu>sitif\ 

peut être mise, elle aussi, sous la forme fltt/ie intéarah' définie (pii pertïtit 
généralement d'en ealeuter la rah-ur as\-mploli</ue . 

Tui.or.i.Mi; III. — l ne série trigononiél rit/in' telle (pie ^ a„(M)>//r est eon- 

Kcrgenle ou sommatde. S<( somme est une faietion anal\ lupie dont ou peut 
obtenir les déri^'ées successives p<ir dérivation terme éi terme. On peut d'ail- 



'|3o I,. i.r. KOY. SI u i.rs skuiks nivF.KGF.NTr.s i:t les fonctions, ktc. 

Iciifs /(lire l'vlude de cette fonction duns tout le plan, en l'exprimant encore 
/>a/- une i/itéi^rale définie ; et ces conclusions s\''tendenl à d'autres séries 
procédant si/i\d/it des /o/icfii>ns '-^/, (^) dont on connaît la fonction géné- 
ratrice. 

Thi^oiù.mi-: I\'. — Le prohlcinc des moments peut être résolu sans a/nlu- 
guïté pour des nondaes donnés de l(( forme n\ %„ ou (/iiy-x„. 

'riir.oiiiiMi: \. — Les séries dicergentes du type > V{ /)/i -f- i)y.„ z" sont 
asymptoti(jues et sonunables. 

Ces résultats ont été généralisés de bien des façons; par exemple : 

i" Si " '"' est (lévcloppahle pour les i;randes valeurs de n suivant les puis- 

sances de ; 
n 

2" Si a„ = G(«„), a,i étant du Ivpe 

a„ = {n -\- i)'/ I o{u.-)j::" cl.r, 

el G désiccianL une lonclion entière d'ordre inférieur à ; 
3" Si 

y — V « "" 


les ^p désignant des nombres donnés el les <(p,n des (juanlités présentant, (juel 
que soil/>, par rapport à n, les caractères indiqués plus haut. 

Il est sans doute inutile de faire remarquer combien il resterait de travaux à 
poursuivre dans les diverses voies que j'ai abordées. J'ai voulu surtout indiquer 
un principe de rcclierche et Jiioiilrer, |)ar quelques excmjjles. avec la connexité 
de certains problèmes, l'intérêt qu'il y aurait à développer le calcul inverse des 
intc<^ralcs définies. Mais bien des questions demeurent en suspens, qui feront 
rubjel d'autres Mémoires. 

Je termine en énonçant la p()s>il)ilil<'' d'étendre la plupart des conclusions cl 
(l<•■^ MM'tliodes que je viens d exposeï* au cas des séries multiples et des lonclioiis 
de plii>ieurs variables indi'i^cndantes. 

(Iixtr;iil des Annales de la Jarutte des Sciences de Toulouse, 1' S., II.) 



26 



Le Roy 

Sur les séries 
divergentes et les 
fonctions définies par un 
developpment de Taylor 



DEPL OF MATHEMAT' 
LIBRARY 



\ 



J! 



3 



S: 

«